Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ГЛАВА XI. РАЗДЕЛИМЫЕ ИГРЫ1. Метод отображенияВ этой главе мы рассмотрим довольно широкий класс игр и опишем метод их решения. Функция
Так, функция М, определенная уравнением
разделима; здесь мы можем взять:
Очевидно, данная разделимая функция может быть представлена в форме (1) многими способами. Например, для указанной выше функции мы можем также взять:
Если функция М разделима, то по определению мы имеем тождественно по
следовательно, положив:
мы можем написать:
где функции и непрерывны. Многочлен от двух переменных есть, очевидно, частный случай разделимой функции. Так, многочлен
может быть представлен в форме (2), если взять:
Разделимой (или полиномиальной) игрой мы называем непрерывную игру, у которой платежная функция разделима. Таким образом, в разделимой игре платежная функция удовлетворяет уравнению (1), где и Если М — платежная функция разделимой игры и если
Таким образом,
и
Легко видеть, что
и
могут представлять один и тот же вектор, если даже
для всякой функции распределения G, и не имеет значения, применяет ли
Когда и Аналогично, для
Следует заметить, что множества U и W относятся к данному частному представлению платежной функции М. Как мы видели раньше, одна и та же функция М может удовлетворять как равенству
так и равенству
При представлении функции М пространство U есть подмножество трехмерного евклидова пространства, а при втором — двумерного. Но мы часто будем опускать ссылку на эту зависимость множеств U и W от способа представления функции М, так как при разборе данной игры мы обычно полагаем, что представление задано раз и навсегда. До сих пор мы считали функцию математического ожидания выигрыша Е определенной только для функций распределения (в качестве аргументов). Однако для некоторых дальнейших рассуждений уместно говорить также о математическом ожидании выигрыша игрока
Из этой формулировки ясно, что
и мы можем также написать:
Из (3) мы видим, что если
Итак, Е есть билинейная форма от координат Для наших целей желательно теперь установить некоторые геометрические свойства пространств U и W и описать соотношение между каждым из этих пространств и множеством всех функций распределения. Эти положения будут сформулированы в нескольких дальнейших теоремах. В главе II мы определили понятие выпуклой линейной комбинации конечного числа точек евклидова
Когда F есть такая выпуклая линейная комбинация функций
Теорема 11.1. Пусть
есть точка пространства U и соответствует функции распределения
Аналогичное предложение справедливо для пространства Доказательство. Пусть платежная функция разделимой игры удовлетворяет равенству
Пусть
Пусть
мы видим, что
Из (5) и (6) мы заключаем, что для
и, следовательно, на основании соответствующих теорем об интегралах Стилтьеса, для
Поскольку по теореме 8.3 F есть функция распределения, мы заключаем, что Доказательство для пространства W аналогично. Мы можем классифицировать точки пространства U по типам соответствующих им функций распределения. Особенно важное подмножество пространства U — это подмножество, содержащее те точки, которые соответствуют одноступенчатым функциям. Мы обозначим это подмножество через Теорема 11.2. Пусть платежная функция М разделимой игры представлена равенством
где
Аналогично, множество
Доказательство. По определению множества U точка
Доказательство второй части теоремы аналогично. Следствие 11.3. Множества U и W для любой разделимой игры суть ограниченные, замкнутые, связные множества. Доказательство вытекает из того, что функции Теорема 11.4. Пространство U для любой разделимой игры есть выпуклая оболочка множества Доказательство. Пусть U — выпуклая оболочка множества U. Мы хотим показать, что U совпадает с пространством U, то есть Допустим, что имеется точка Поскольку, согласно следствию 11.3,
и для любой точки
Из (8) и (9) мы видим, что для всякой точки
и, следовательно, что
Поскольку (10) справедливо для всякой точки
Пусть теперь F — функция распределения, которой соответствует точка
Из (11) мы заключаем, что
и, следовательно, поскольку все величины
или
или, наконец, на основании (12)
или
Но это противоречит условию положительности Поскольку Теорема 11.5. Пусть М — платежная функция разделимой игры, и пусть
Тогда всякая смешанная стратегия (обоих игроков) эквивалентна ступенчатой функции с числом ступеней не больше Доказательство. Пусть F — любая функция распределения, и пусть
Поскольку
соответствует точке и. Очевидно, I есть ступенчатая функция, имеющая самое большее n ступеней, и I и F эквивалентны, поскольку обе функции соответствуют одной и той же точке пространства U. В частности, любая оптимальная стратегия F (по теореме 10.4 такая существует) эквивалентна ступенчатой функции Охарактеризуем теперь те точки пространств U и W, которые соответствуют оптимальным стратегиям. Для этого уместно определить отображение точек пространства U в множество точек пространства W и отображение точек пространства W в множество точек пространства U. Если и — любая точка пространства U, то образом точки и мы будем называть множество точек w пространства W таких, что
Будем обозначать образ точки и через
Образ точки до обозначим через Если точка и пространства U и точка до пространства W таковы, что Теорема 11.6. Если F — любая функция распределения и если Доказательство. Пусть
Если обозначить через
которые, согласно теореме 10.5, означают, что Теорема 11.7. Если Доказательство. Поскольку
и
Аналогично, поскольку до есть фиксированная точка пространства W, то имеется точка и пространства U такая, что
и
Тогда мы имеем:
Поскольку первый и последний члены этой цепи равенств и неравенств одинаковы, мы заключаем, что все входящие сюда величины равны, в частности.
а это значит, что
|
1 |
Оглавление
|