5. Игры с числом игроков больше двух

До сих пор мы рассматривали лишь игры двух лиц, но, очевидно, наши замечания применимы с соответствующими видоизменениями к игре лиц, где . В частности, для нее можно начертить диаграмму, вполне аналогичную описанным выше диаграммам для игр двух лиц. Введя понятие стратегии, можно привести игру n лиц к нормальной форме (хотя до сих пор мы еще не указали никакого способа «решения» таких игр в нормальной форме). Эти замечания мы поясним на следующем примере.

Пример 5.10. Первый ход заключается в том, что случайный механизм, назначающий числам 1 и 2 вероятности соответственно и , выбирает число х из множества . Если , то на втором ходу игрок зная значение х, выбирает число из множества . Если х = 2, то на втором ходу игрок , зная значение х, выбирает число у из множества . Если , то на третьем ходу игрок , зная значение , но не зная , выбирает число из множества . Если , то на третьем ходу игрок , зная значение и зная, было ли выбрано или , выбирает число из множества . После того как были выбраны х, у и z, игрокам уплачиваются соответственно суммы , где и — некоторые действительные функции. Диаграмма этой игры изображена на рис. 19.

Стратегия игрока есть одно из чисел 1, 2, 3. Такова же стратегия игрока . Стратегия игрока есть 1 или 2. Стратегия игрока должна указать ему, какое значение z из множества выбирать при х = 1 и х == 2. Обозначим четыре возможные стратегии для через . Например когда говорят, что применяет стратегию то это значит, что он выберет z = 2, если х = 1, и z = 1, если х = 2.

Чтобы понять, как вычислять элементы матрицы стратегий, предположим, что применяет стратегию 1, — стратегию 3, — стратегию 2 и — стратегию . Как и при разборе примера 5.7, нужно рассмотреть отдельно случаи, когда и когда

Рис. 19.

Если то второй ход делает и, следовательно, Тогда третий ход делает и, следовательно, . В этом случае платеж игроку равен .

Если то второй ход делает и, следовательно, Тогда третий ход делает и, следовательно, В этом случае платеж игроку (для ) равен Поскольку вероятность того, что равна 1/3, мы заключаем, что если игроки применяют указанные стратегии, то математическое ожидание выигрыша игрока будет