5. Игры с числом игроков больше двух
До сих пор мы рассматривали лишь игры двух лиц, но, очевидно, наши замечания применимы с соответствующими видоизменениями к игре
лиц, где
. В частности, для нее можно начертить диаграмму, вполне аналогичную описанным выше диаграммам для игр двух лиц. Введя понятие стратегии, можно привести игру n лиц к нормальной форме (хотя до сих пор мы еще не указали никакого способа «решения» таких игр в нормальной форме). Эти замечания мы поясним на следующем примере.
Пример 5.10. Первый ход заключается в том, что случайный механизм, назначающий числам 1 и 2 вероятности соответственно
и
, выбирает число х из множества
. Если
, то на втором ходу игрок
зная значение х, выбирает число
из множества
. Если х = 2, то на втором ходу игрок
, зная значение х, выбирает число у из множества
. Если
, то на третьем ходу игрок
, зная значение
, но не зная
, выбирает число
из множества
. Если
, то на третьем ходу игрок
, зная значение
и зная, было ли выбрано
или
, выбирает число
из множества
. После того как были выбраны х, у и z, игрокам
уплачиваются соответственно суммы
, где
и
— некоторые действительные функции. Диаграмма этой игры изображена на рис. 19.
Стратегия игрока
есть одно из чисел 1, 2, 3. Такова же стратегия игрока
. Стратегия игрока
есть 1 или 2. Стратегия игрока
должна указать ему, какое значение z из множества
выбирать при х = 1 и х == 2. Обозначим четыре возможные стратегии для
через
. Например когда говорят, что
применяет стратегию
то это значит, что он выберет z = 2, если х = 1, и z = 1, если х = 2.
Чтобы понять, как вычислять элементы матрицы стратегий, предположим, что
применяет стратегию 1,
— стратегию 3,
— стратегию 2 и
— стратегию
. Как и при разборе примера 5.7, нужно рассмотреть отдельно случаи, когда
и когда
Рис. 19.
Если
то второй ход делает и, следовательно,
Тогда третий ход делает
и, следовательно,
. В этом случае платеж игроку
равен
.
Если
то второй ход делает
и, следовательно,
Тогда третий ход делает и, следовательно,
В этом случае платеж игроку (для
) равен
Поскольку вероятность того, что
равна 1/3, мы заключаем, что если игроки применяют указанные стратегии, то математическое ожидание выигрыша игрока
будет