6. Решение игры с ограничениями как разделимой игры

Предположим, что смешанные стратегии прямоугольной игры должны удовлетворять некоторым дополнительным линейным неравенствам, помимо тех, которые определяют смешанную стратегию; тогда мы имеем игру с ограничениями. Такие игры встречаются часто в математической статистике (см. главу XIII), когда рассматриваются задачи статистического решения как игры между статистиком и природой, ибо статистик обычно имеет в памяти достаточно опытных данных относительно прошлого поведения природы в данной области, чтобы суметь по крайней мере установить верхние и нижние границы для частот ожидаемых явлений.

Дополнительные линейные неравенства в игре с ограничениями приводят к тому, что пространство U и пространство W изменяются, но они по-прежнему остаются замкнутыми, ограниченными и выпуклыми. Платежная функция, конечно, остается неизменной и, в частности, билинейной. Поэтому можно применять методы, используемые для разделимых игр.

Рис. 47.

Рис. 48.

Мы можем решать игру путем исследования фиксированных точек. Например, рассмотрим игру, разобранную в предыдущем параграфе. Допустим, что мы налагаем следующие дополнительные линейные ограничения на смешанные стратегии:

Математическое ожидание выигрыша остается прежним, а именно:

Из дополнительных неравенств вытекает, что пространство U представляет собой четырехугольник ABCD (рис. 47, заштрихованная область), а пространство W — треугольник LMN (рис. 48, заштрихованная область).

Мы решаем эту игру путем исследования фиксированных точек в пространствах U и W. Из геометрической структуры пространства U следует, что для всего пространства U мы имеем:

Следовательно, образ всякой точки и пространства U есть точка . Но . Следовательно, и суть фиксированные точки пространств U и W. Оптимальные стратегии игроков суть

Цена игры равна .

Библиографические замечания

Эта глава основана в большой степени на выводах, приведенных в работах Дрешера, Карлина и Шепли [35] и Дрешера и Карлина [34], а также на некоторых частных сообщениях Дрешера. См. также работу Дрешера [32].