2. Терминология и классификация игр

Мы будем применять слово «игра» для обозначения некоторого набора правил и соглашений, составляющих данный вид игры, например шахматы, и будем употреблять слово «партия» для обозначения возможной реализации этих правил.

Подобно этому мы будем применять слово «ход» для обозначения момента игры, в котором один из игроков (или иногда случай) выбирает одну альтернативу из некоторого набора альтернатив; слово «выбор» будем применять для обозначения выбранной альтернативы (в обычном языке слово «ход» употребляется в двух смыслах, для обоих понятий).

Таким образом, мы скажем «черные выиграли благодаря разумному выбору на десятом ходу».

Существует огромное число всевозможных стратегических игр. Рассмотрим некоторые способы их классификации.

Во-первых, мы различаем игры по числу игроков: игра одного лица, игра двух лиц и др. Например, пасьянс — игра одного лица, шахматы — игра двух лиц. Когда мы говорим «игра n лиц», мы не обязательно подразумеваем, что в каждой партии игры участвуют n человек, просто согласно правилам игры игроки распадаются на n непересекающихся множеств таким образом, что игроки, входящие в каждое множество, имеют одинаковые интересы. Эти n множеств людей с одинаковыми интересами называются «лицами» (так же, как в судебном деле корпорация считается лицом). Например, хотя в шахматы обычно играют два игрока, в них также могут играть две «команды», каждая из трех человек; но и в этом случае игра все же будет игрой двух, а не шести лиц. Точно так же бридж нужно считать игрой двух, а не четырех лиц, так как два партнера имеют одинаковые интересы и рассматриваются поэтому как одно лицо.

При игре в общественные игры игроки иногда решают, что в конце партии они произведут между собой денежные платежи так, как определено правилами щгры. Так почти всегда поступают в совершенно случайных играх, например при игре в кости (так как иначе не будет заинтересованности), в покере и часто в бридже. В других случаях игроки ведут счет очков и в конце партии находят числа, измеряющие относительное умение, проявленное участниками игры, но никаких денег не выплачивают, так часто поступают при игре в бридж. Наконец, в некоторых случаях не подсчитывают никаких очков, а просто объявляют, кто «выиграл» и кто «проиграл»; так обычно делают, например, при играх в тик-так-ту, шашки и шахматы.

Однако нам удобно пренебречь вторым и третьим вариантом и говорить об игре так, как будто во все игры играют ради денег; таким образом, мы будем обычно говорить о «платежах», производимых между игроками в конце партии, и будем представлять эти платежи как денежные суммы. (Предположение о наличии денежных платежей может показаться ограничением поля нашего исследования, однако это не верно: если даже деньги не переходят из рук в руки, игроки получают от своих относительных очков какое-то удовлетворение или огорчение, и таким образом можно было бы установить денежную ценность испытываемых ими ощущений, следовательно, игру можно представить себе так, как будто она ведется ради этих эквивалентных денежных сумм. Мы не будем здесь вдаваться в эти вопросы, которые скорее относятся к области экономической науки или философии, чем к математике.)

Предположим, что мы рассматриваем партию n лиц с игроками , и пусть — платеж игроку в конце партии (если сам должен платить, то отрицательно). Если при этом

то мы называем партию партией с нулевой суммой. Если любая возможная партия некоторой игры имеет нулевую сумму, то и саму игру мы называем игрой с нулевой суммой. Ясно, что все обычные салонные игры, в которых игра ведется на деньги, есть игры с нулевой суммой, так как в процессе игры сумма взносов всех игроков не возрастает и не уменьшается. Игры с ненулевой суммой дают нам возможность изучать при помощи теории игр модели экономических процессов, так как экономические процессы обычно создают (или уничтожают) богатство. Может даже случиться, что экономический процесс увеличивает или уменьшает богатство каждого из его участников.

Игры можно классифицировать и по количеству ходов. Например, тик-так-ту, если играть до самого конца, имеет девять ходов, из которых пять делает один игрок и четыре — другой.

В некоторых играх партии имеют, разную продолжительность; так, шахматная партия может быть короткой или длинной в зависимости от относительного искусства партнеров.

Конечная игра имеет конечное число ходов, каждый из которых содержит лишь конечное число альтернатив; другие игры мы называем бесконечными.

Наконец, игры можно классифицировать по количеству информации, имеющейся у игроков относительно прошлых ходов. Например, в шашках и шахматах игроки все время информированы о предыдущих ходах; в бридже игрок не знает, какие карты были сданы другим участникам, и, следовательно, знает не все. Ясно, что из данной игры можно получить совершенно другую игру, изменив правила относительно информации, даваемой игрокам. Так, бридж превратился бы в совершенно другую игру, если бы каждый игрок должен был показывать своикарты в начале игры. И из шахмат получается совершенно новая игра (так называемая «военная игра») если игрокам нельзя получать информацию о выборах их противников.