Упражнения

1. Найдите цену и оптимальные стратегии для игры, описанной в примере 5.7.

2. Определите матрицы стратегий и решения для игр, описанных в примерах 5.4 и 5.8.

3. Опишите матрицу стратегий для игры, описанной в примере 5.3. Найдите оптимальные чистые стратегии обоих игроков.

4. Начертите диаграмму игры, в которой происходят следующие ходы:

Ход I. выбирает число из множества

Ход II. зная четное или нечетное, выбирает число у из множества {1, 2}.

Ход III. Если то случайный механизм выбирает число z из множества {1, 2} таким образом, что вероятность выбрать 1 равна 1/10. Если , то зная значения , выбирает число из множества {1, 2}.

Ход IV. зная значение но не зная и r, выбирает число w из множества {1, 2}.

5. Сколько стратегий в тик-так-ту?

6. Найдите платежную функцию М, при которой цена игры примера 5.5 будет отличаться от цены игры примера 5.2.

7. Покажите, что иногда полезно помнить, что было сделано раньше.

8. Дана следующая игра. Ход I. Игрок выбирает из множества {1, 2}.

Ход II. Игрок не зная значения r, выбирает число у из множества {1, 2}.

Ход III. Случайный механизм выбирает число z из множества с вероятностью а для 1 и вероятностью (1—а) для 2.

После того, как выбраны игроку уплачивается сумма и игроку уплачивается сумма . (Мы не требуем, чтобы для всех ). Диаграмма этой игры приведена на рис. 22.

Рис. 22.

Опишите стратегии этой игры, найдите ожидаемый платеж каждому из игроков для каждой возможной пары стратегий и найдите условия, которым должны удовлетворять а, чтобы игра была игрой с нулевой суммой (то есть чтобы сумма математических ожиданий выигрыша игроков всегда была равна нулю).

Какие условия нужно наложить на , чтобы игра имела нулевую сумму независимо от значения а?

9. Каким условиям должны удовлетворять функции чтобы игра, оиисанная в примере 5.10, была игрой с нулевой суммой (то есть чтобы для всех стратегий сумма математических ожиданий выигрышей четырех игроков была равна нулю)?