Упражнения

1. Докажите лемму 10.2.

2. Проверьте непосредственными алгебраическими выкладками, что если

две однородные линейные формы, такие, что для всякого либо

либо

то существует элемент множества такой, что для всех из

3. Пусть Г — непрерывная игра, у которой платежная функция

где . Покажите, что следующие равенства составляют решение игры Г:

4. Покажите, что игра примера 10.11 не имеет такого решения, чтобы оптимальная стратегия второго игрока была элементом множества то есть чтобы мы имели для некоторого а

5. Покажите, что если есть непрерывная функция, такая, что для всех и

и если мы положим

то непрерывная игра, у которой платежная функция есть имеет следующее решение:

6. Платежная функция непрерывной игры есть

Покажите, что не существует оптимальных стратегий, имеющих следующий вид:

7. Найдите оптимальные стратегии для игры упражнения 6, имеющие следующий вид:

8. Покажите, что если

суть оптимальные стратегии в игре, имеющей непрерывную платежную функцию М, то

суть оптимальные стратегии в игре, у которой платежная функция М определяется уравнением

9. Обобщите предложение, установленное в упражнении 8. 10. Пусть а — фиксированное положительное число, и пусть

Найдите решение игры, для которой платежная функция есть М.

11. Докажите теорему 10.20.

12. Покажите, что существует решение игры, платежная функция которой определена следующим образом:

Указание. Примените функцию 0, определенную следующим образом:

13. Платежная функция непрерывной игры есть

Найдите для этой игры оптимальные стратегии, имеющие следующий вид:

где и суть дважды дифференцируемые функции распределения при

14. Для игры примера 10.14 найдите оптимальные стратегии, имеющие вид:

15. Докажите теорему 10.20

16. Докажите теорему 10.21.