Упражнения

1. Пусть функция F определена следующим образом:

Вычислите интегралы:

2. Пусть функция G определена следующим образом:

Вычислите интеграл

3. Вычислите интеграл

где

4. Пусть F - функция, определенная в упражнении 1, a G — функция, определенная в упражнении 2. Покажите, что интеграл

не существует.

5. Докажите теорему 9.9.

6. Докажите теорему 9.10.

7. Докажите теорему 9.14.

8. Докажите теорему 9.25.

9. Докажите равенство (18).

10. Покажите, что вывод теоремы 9.14 не будет верен, если мы опустим условие, что функция F неубывающая.

И. Покажите, что функция F, определенная уравнением

имеет при производные слева и справа.

12. Пусть функция F определена следующим образом:

Покажите, что при функция F не имеет ни одной односторонней производной.

13. Постройте функцию, которая имела бы при х = 0 производную справа, но не имела бы производной слева.