§ 2. ИЗУЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ

Прежде всего необходимо подвергнуть анализу само понятие движения. Точное математическое описание движения заключается в том, чтобы указать, в каком месте относительно заранее выбранной координатной системы находится точка во все последовательные моменты времени. Математики для этого используют формулы. Мы будем, насколько возможно, избегать этого не всем в достаточной мере знакомого метода представления законов и соотношений; вместо него мы будем использовать графическое представление движения.

Проиллюстрируем сказанное простейшим примером. Рассмотрим движение точки вдоль прямой линии.

Выберем в качестве единицы длины, как это обычно делается в физике, сантиметр, и пусть движущаяся точка будет на расстоянии см от нулевой точки или начала координат в тот момент, когда мы начинаем наши наблюдения; этот момент времени мы будем называть Предположим, что в течение 1 сек точка сдвинулась на расстояние см вправо, так что при сек расстояние от начала координат возросло до 1,5 см. В течение следующей секунды точка сдвинется на такое расстояние; тогда см и т. д. Следующая таблица дает расстояние в зависимости от момента времени

То же самое соотношение мы видим изображенным на ряде горизонтальных линий на фиг. 6, где движущаяся точка изображена в виде маленького кружка на оси расстояний.

Фиг. 6. Движение точки вдоль оси с постоянной скоростью см/сек.

Фиг. 7. Представление движения точки, показанного на фиг. 6, в системе координат

Далее, вместо изображения ряда маленьких диаграмм одной над другой мы можем нарисовать один график, на котором играют роль координат (фиг. 7). Этот способ имеет то преимущество, что позволяет указать положение точки не только в момент, когда начинается каждый период длительностью в 1 сек, но и во все Промежуточные моменты времени. Требуется только соединить положения, отмеченные на фиг. непрерывной кривой. В нашем случае, очевидно, это будет прямая линия, так как точка проходит одинаковые расстояния в одинаковые времена; координаты поэтому изменяются в одном и том же отношении (т. е. пропорционально); очевидно, графиком,

характеризующим этот закон, будет прямая линия. Такое движение называется равномерным. Понятие скорость движения означает отношение пройденного пути к необходимому для этого времени:

В нашем примере точка проходит 1/2 см за 1 сек. Скорость все время остается одной и той же и составляет см/сек.

Фиг. 8. Равномерное движение с различными скоростями:

Единица скорости уже задана этим определением: это скорость, которую точка имела бы, если бы она проходила 1 см за 1 сек. О скорости говорят, что это производная единица; не вводя нового слова, мы обозначаем ее: сантиметр в секунду, или см/сек. Чтобы выразить тот факт, что измерение скоростей может быть сведено обратно к измерению длин и времен в соответствии с формулой (1), мы говорим также, что скорость имеет размерность длины, деленной на время, что записывается как или Точно таким же образом мы приписываем определенные размерности всем величинам, которые можно построить с помощью фундаментальных величин: длины I, времени и веса Если эти последние единицы известны, то всякую другую единицу можно непосредственно выразить с помощью единиц длины, времени и веса, скажем см, сек и

В случае больших скоростей путь, пройденный за 1 сек, оказывается очень большим, поэтому на графике линия лишь слегка наклонена к оси чем меньше скорость, тем круче оказывается график. Точка, которая находится в покое, имеет нулевую скорость и представляется на нашей диаграмме прямой

линией, параллельной оси так как все точки этой прямой линии соответствуют одному и тому же значению во все моменты времени

Если точка, бывшая до этого в покое, вдруг мгновенно приобретает скорость и продолжает двигаться с этой скоростью, то график представляет собой ломаную линию, первая часть которой вертикальна, а вторая наклонена (фиг. 9,а). Аналогично ломаные линии характеризуют случаи, в которых точка, первоначально равномерно движущаяся вправо или влево, вдруг мгновенно меняет скорость (кривые на фиг. 9).

Фиг. 9. Равномерные движения с мгновенными изменениями скорости.

Если скорость до мгновенного ее изменения была равна (скажем, а после изменения стала равна (например, 5 см/сек), то увеличение скорости равно (т. е. см/сек). Если меньше, чем (например, см/сек), то величина — отрицательна (именно, см/сек); это, очевидно, означает, что движущаяся точка неожиданно затормозилась (кривая на фиг. 9).

Если точка испытывает ряд мгновенных изменений скорости, то график ее движения будет представлять собой последовательность прямолинейных отрезков, соединенных концами (ломаную кривую), как показано на фиг. 10.

Если изменения скорости будут происходить все более и более часто и будут достаточно малыми, «ломаность» кривой перестанет отличаться от искривленности гладкой линии. Тогда кривая будет характеризовать движение, скорость которого изменяется непрерывно, т. е. такое движение, которое неравномерно, ускорено или замедлено (фиг. 11).

Точные величины скорости и быстроты ее изменения — ускорения — могут быть получены в этом случае только с помощью

методов дифференциального исчисления. Для нас достаточно заменить непрерывную кривую ломаной, прямые отрезки которой характеризуют равномерные движения с постоянными скоростями.

Фиг. 10. Движение точки, испытывающей ряд мгновенных изменений скорости.

Фиг. 11. Движение с непрерывно изменяющейся скоростью.

Можно предполагать, что углы нашей ломаной (т. е. мгновенные изменения скорости) следуют друг за другом через равные интервалы времени, скажем через сек.

Фиг. 12. Пример движения точки. Движение начинается в момент времени из положения со скоростью 5 см/сек; скорость претерпевает изменение на 10 см/сек каждую одну десятую секунды.

Если, кроме того, эти изменения равны по величине, то движение называют равномерно ускоренным (равноускоренным). Пусть каждое изменение скорости равно тогда, если в течение 1 сек происходит изменений скорости, общее изменение скорости за секунду равно

Например, на фиг. 12

Эта величина представляет собой меру ускорения. Ее размерность, очевидно, равна а ее единица есть ускорение, при котором скорость изменяется на 1 единицу за единицу времени, т. е. в физической системе мер .

Когда мы хотим знать, насколько далеко переместилась за время точка, движущаяся равноускоренно, мы представляем себе, что период времени разделен на равных частей, и предполагаем, что точка приобретает мгновенное увеличение скорости в конце каждого малого интервала времени Это малое приращение связано с ускорением формулой (2), где нужно заменить интервал времени на так,

Если точка начинает движение с нулевой скоростью из положения в момент времени то скорость

после первого интервала времени:

после второго интервала времени:

после третьего интервала времени:

и т.д.

Точка перемещается

после первого интервала времени в положение

после второго интервала времени в положение

после третьего интервала времени в положение

По прошествии интервала времени, т. е. в конце периода точка будет находиться в положении

Но

Сумму чисел от 1 до можно легко подсчитать, сложив первое. с последним, второе со вторым с конца и т. д. В каждом случае сумма двух чисел оказывается равной а всего у нас таких пар. Таким образом, мы получаем, что Если, далее, заменить на то получим

и, таким образом,

Здесь мы можем выбрать как угодно большим. Если положить произвольно большим, то становится как угодно малой, и мы получаем

Эта формула означает, что проходимые пути пропорциональны квадратам отрезков времени. Если, например, ускорение , то через 1 сек точка переместится на 50 см, через 2 сек — на см, через 3 сек — на см и т. д. Если пользоваться меньшими отрезками, например в сек, мы увидим, что точка переместилась на в первую десятую долю секунды, на см за вторую десятую долю секунды и т. д. Это соотношение можно изобразить в плоскости кривой, которую называют «параболой» (фиг. 13). Сравнивая эту фигуру с фиг. 12, мы видим, как ломаная кривая приближенно представляет непрерывную кривую — параболу. Для обеих фигур мы выбрали одинаковое ускорение этот выбор определяет внешний вид кривых.

Понятие ускорения можно применить и к неравномерно ускоренным движениям, используя вместо 1 сек настолько малые отрезки времени, в течение которых наблюдается движение, что это движение можно будет рассматривать как равномерно ускоренное. Ускорение тогда само превращается в непрерывную переменную.

Все эти определения становятся строгими и в то же время удобными в обращении при глубоком изучении процесса подразделения на малые интервалы, в течение которых рассматриваемая величина считается постоянной. Это приводит к ионятию предельной величины, которое служит исходным понятием дифференциального исчисления. Исторически именно исследуя проблемы движения, Ньютон, по сути дела, пришел к изобретению дифференциального исчисления и обратного ему интегрального исчисления.

Фиг. 13. Пример движения точки. Движение начинается в момент времени из положения с ускорением

Теория движения (кинематика, форономия) послужила предвестником истинной механики сил, или динамики. Очевидно, эта теория представляет собой некоторого рода геометрию движения. По существу в нашем графическом представлении каждое движение изображается некоторой геометрической конфигурацией в плоскости координат Здесь мы имеем дело с более чем просто аналогией. Действительно, именно принцип относительности придает фундаментальное значение пониманию времени как координаты в единстве с пространственными координатами.