§ 11. ОПТИЧЕСКИЕ СЛЕДСТВИЯ И ИХ ПОДТВЕРЖДЕНИЯ

До сих пор было обнаружено, кроме механических следствий, лишь несколько оптических явлений, которые не ускользают от наблюдения несмотря на малость соответствующих эффектов.

Одно из них — красное смещение спектральных линий в свете, приходящем от звезд большой массы. На поверхности таких звезд существует сильное гравитационное поле. Оно действует на метрику и заставляет часы идти медленнее, чем идут часы на Земле, где гравитационное поле слабее. Мы располагаем подобными часами в виде атомов и молекул светящихся газов. Механизм колебаний в таких часах, несомненно, один и тот же, где бы ни находилась молекула, и, таким образом, время колебания должно быть одним и тем же во всех системах отсчета, в которых гравитационные поля одинаковы, скажем равны нулю.

Если период колебаний в свободной от поля области пространства равен то величина представляет инвариантное расстояние между двумя мировыми точками, соответствующими двум последовательным крайним положениям колеблющегося атома относительно той системы отсчета, в которой он покоится. В относительно ускоренной системе отсчета, в которой гравитационное поле существует, то же расстояние дается формулой (98), где характеризуют разности пространственных координат атома в два момента времени: когда мы начинаем наблюдать колебание и когда заканчиваем, а есть соответствующий интервал времени, причем все эти величины измеряются в выбранной системе отсчета. Если за начало пространственных координат взять центр атома, то мы можем положить тогда

Таким образом,

Но мы знаем, что только в свободных от полей областях пространства [см. формулу (99), стр. 329], то-есть когда . В гравитационном же поле отличается от

скажем, Поэтому период колебаний изменяется:

или, если отклонение у мало, то приближенно (см. примечание к стр. 211)

Это и есть разность хода двух часов, находящихся в двух различных точках пространства, в которых различие гравитационного поля, определяемого величиной характеризуется относительным значением у.

Положителен коэффициент у или отрицателен — можно установить, рассматривая простой случай, в котором ответ на этот вопрос удается получить, просто исходя из принципа эквивалентности. Это случай постоянного гравитационного поля, такого, как имеет место, например, в непосредственной близости от поверхности небесного тела. Действие такого поля можно эквивалентно заменить ускорением наблюдателя той же величины направленным противоположно силе тяготения. Если -расстояние от наблюдателя до поверхности звезды, то световая волна должна затратить время чтобы достигнуть наблюдателя, и измерять наблюдатель будет все величины точно так же, как если бы он удалялся от поверхности с ускорением Когда световая волна настигнет его, он приобретет скорость

в направлении распространения света; следовательно, согласно принципу Доплера [формула (41), стр. 123], он будет наблю дать уменьшенную частоту

Эту формулу можно вывести прямо из принципа эквивалентности (гл. VII, § 2), опираясь на идею световых квантов, о которой мы говорили выше.

Согласно квантовой теории, свет частоты можно рассматривать как поток квантов с энергией Эти кванты имеют инертную массу

которая, согласно принципу эквивалентности, равна их гравитационной массе. Когда кванты света проходят расстояние

против гравитационного поля их энергия уменьшается на Таким образом, в конце пути энергия кванта составляет лишь

Если константу сократить в обеих частях, мы снова получаем формулу (101). Период колебаний наблюдаемый в гравитационном поле, связан с периодом колебаний определенным в свободном от полей пространстве соотношением

или, приближенно,

Физический смысл этой формулы состоит в следующем: даны двое одинаково сконструированных синхронных часов, первоначально покоящихся относительно друг друга; если одни из них подвергаются в течение определенного интервала времени действию гравитационного поля, то часы станут идти уже не синхронно, но те из них, которые испытали действие поля, будут отставать.

Сравнивая формулы (101а) и (100), мы видим, что в рассмотренном случае постоянного поля

Но, согласно формуле (15) (гл. II, § 14, стр. 53), величина есть потенциальная энергия тела в постоянном гравитационном поле когда тело поднимается в поле на расстояние здесь, согласно (13) (гл. II, § 12, стр. 48), где масса. Следовательно, разность потенциальных энергий на единицу массы для двух тел, разделенных расстоянием составляет Обозначив эту величину через мы имеем

Ньютоново представление потенциальной энергии согласуется с теорией Эйнштейна, и поскольку ньютонова механика представляет собой приближение к эйнштейновской, можно принять эту величину и затем показать, что формула

выполняется для любого гравитационного поля и что величина у положительна, если свет распространяется в направлении, противоположном полю.

Эту формулу можно применить к лучу света, идущему от Солнца или от звезды. Там ему приходится преодолеть сильное притягивающее поле, тогда как, падая на Землю, он испытывает действие лишь очень слабого ускоряющего поля. Следовательно, все спектральные линии звезд должны быть немного смещены в сторону красного конца спектра. Хотя предсказываемая величина эффекта чрезвычайно мала, его существование было подтверждено наблюдениями, по крайней мере качественно. Совершенное количественное согласие не было еще достигнуто вследствие того, что ни массы, ни радиусы неподвижных звезд, подходящих для такого рода измерений, не известны с достаточной точностью. Однако в той мере, в какой результаты удалось установить, они вполне согласуются с формулой Эйнштейна.

Красное смещение в случае Солнца трудно наблюдать ввиду того, что оно довольно мало и на него накладываются искажения, обусловленные другими, сходными по характеру результатов эффектами. Красное смещение было измерено для различных точек солнечной поверхности рядом астрономов; оказалось, что для внутренней части солнечного диска оно гораздо меньше, чем величина, предсказываемая теорией, но возрастает по направлению к краю, где и достигает теоретического значения. Это явление нетрудно понять, приняв во внимание характер физического состояния газообразных веществ, образующих внешний слой Солнца. Эти слои находятся не в статическом равновесии, а в состоянии турбулентного движения; раскаленные светящиеся массы газа с большой Силой вырываются из внутренних частей, тогда, как охлажденные и более темные массы опускаются внутрь. Таким образом, эффект Доплера (гл IV, § 8) вызывает дополнительный фиолетовый сдвиг, уменьшающий величину красного смещения, предсказанного Эйнштейном для центра солнечного диска.

Теперь мы можем заполнить пропуск, оставленный раньше (гл. VI, § 5, стр. 255), а именно дать полное объяснение «парадокса часов». Рассмотрим снова двух наблюдателей из которых один покоится в некоторой инерциальной системе (специальной теории относительности), а второй отправляется в путешествие. При возвращении В часы согласно формуле (76) (стр. 250), уходят вперед по сравнению, с часами В на величину

где -полное время путешествия, измеренное в системе наблюдателя А. Эта формула выполняется, конечно, только приближенно, но она вполне удовлетворительна для нашей цели до тех пор, пока мы пользуемся соответствующими приближениями во всех своих расчетах.

Но можно считать покоящимся и наблюдателя В. Наблюдатель А тогда проделывает путешествие в противоположном направлении. Однако мы, конечно, не можем просто заключить, что часы наблюдателя В теперь должны уходить вперед по сравнению с часами А на ту же величину, так как В не покоится в инерциальной системе, но испытывает ускорение.

С точки зрения общей теории относительности мы должны сразу принять во внимание, что, изменяя систему отсчета, необходимо ввести определенные гравитационные поля на все периоды времени, в течение которых имеют место ускорения.

В первом из рассматриваемых случаев наблюдатель А покоится в области пространства, в которой метрика евклидова, а гравитационные поля отсутствуют. Во втором случае В покоится в системе отсчета, в которой в течение трех коротких интервалов времени — периодов отправления, поворота и возвращения в точку А — возникают гравитационные поля. Наблюдатель А в этих полях падает свободно, а В испытывает действие удерживающих его в неподвижном состоянии внешних сил. Из этих трех гравитационных полей первое и последнее не влияют на относительные скорости хода часов наблюдателей поскольку эти поля возникают в одной и той же точке пространства в моменты отправления и прибытия и поскольку разность скоростей хода часов возникает в гравитационном поле, согласно формуле (101), лишь тогда, когда часы разделены некоторым расстоянием Но разность хода часов возникает и тогда, когда А меняет направление движения. Если время, затраченное на поворот, в течение которого возникает гравитационное поле (В при этом предполагается покоящимся), то часы наблюдателя А, удаленные на расстояние I и находящиеся в гравитационном поле уходят вперед по сравнению с часами В. Эта разность времен с достаточной степенью точности определяется формулой (101а) (стр. 343), именно величиной

В течение же тех интервалов времени, когда наблюдатель А движется равномерно и к нему следует применять специальный принцип относительности, часы наблюдателя А, наоборот, должны отставать от часов В на величину

Таким образом, в общем результате часы А уйдут вперед по сравнению с часами В на величину, составляющую

к моменту возвращения наблюдателя А.

Можно показать, что эта величина точно согласуется с результатом для случая, когда покоится наблюдатель А, именно: часы А уходят вперед по отношению к часам В на величину

В самом деле, поскольку движущийся наблюдатель после изменения скорости приобретает скорость полное изменение его скорости составляет Его ускорение мы получаем, деля эту величину на время, затраченное на это изменение. В качестве ускорения это дает величину

С другой стороны, в момент поворота половина времени путешествия уже прошла. Расстояние между наблюдателями тогда составляет

Отсюда следует, что

и

чем и завершается доказательство.

Итак, парадокс часов есть результат ошибочного применения специальной - теории относительности, именно ее применения к случаю, когда следует использовать общую теорию.

Аналогичную ошибку содержит и следующее возражение, выдвигаемое вновь и вновь, хотя его объяснение чрезвычайно просто.

Согласно общей теории относительности, система координат, вращающаяся относительно неподвижных звезд (т. е. жестко связанная с Землей), полностью эквивалентна системе, покоящейся относительно неподвижных звезд. В такой системе, однако, сами по себе неподвижные звезды приобретают колоссальные скорости. Если -расстояние до звезды, то ее скорость

составляет

где обозначает длительность одного дня. При

эта величина становится равной скорости света с. Если измеряется в астрономических единицах длины — в световых годах, то эту величину следует поделить на с -365, а приравнять к одному дню. Как только расстояние превышает

скорость становится больше скорости света с. Но даже ближайшие звезды удалены от Солнца на несколько световых лет. С другой стороны, теория относительности (гл. VI, § 6, стр. 260) утверждает, Что скорость материальных тел всегда должна быть меньше, чем скорость света. Здесь, по-видимому, возникает вопиющее противоречие.

Но это противоречие, однако, возникает лишь потому, что применение закона полностью ограничено пределами специальной теории относительности. В общей теории относительности этот закон следует формулировать в следующем более корректном виде. Как мы знаем, всегда возможно найти систему отсчета, в которой для непосредственной окрестности произвольной точки справедлива геометрия мира Минковского, т. е. выбрать систему отсчета так, чтобы геометрия была евклидовой, гравитационные поля отсутствовали, а величины имели значения, соответствующие формуле (99) на стр. 329. Относительно этой системы и относительно малого элемента пространства скорость света представляет собой верхний предел возможных скоростей.

Как только эти условия оказываются невыполненными — присутствуют гравитационные поля, — скорости либо материальных тел, либо света могут принимать любые численные значения. Ведь световые линии во Вселенной определяются равенством или, если ограничиться плоскостью равенством

Из этого квадратичного уравнения можно подсчитать величину определяющую скорость света. Например, если мы

получаем из величину

в качестве скорости света, а эта величина зависит просто от того, насколько велики или малы Скорость материального тела при этом должна быть лишь меньше, чем

Взяв в качестве системы отсчета Землю, мы получаем центробежное поле (гл. III, § 9, стр. 83), равное

которое достигает огромных значений на больших расстояниях. Поэтому величины имеют значения, колоссально отличающиеся от евклидовых значений (99). Таким образом, скорость света для определенных направлений светового луча оказывается гораздо больше, чем обычное значение с, и соответственно все другие тела могут достигать больших скоростей.

Во всякой произвольной гауссовой системе координат меняется не только скорость света, но сами световые лучи перестают быть прямыми. Второй оптический способ проверки общей теории относительности и опирается на это искривление световых лучей. Мировые линии световых лучей представляют собой геодезические точно так же, как инерциальные траектории материальных тел, и, следовательно, аналогично последним в общем случае должны быть криволинейными. Но благодаря огромной скорости света отклонение лучей оказывается гораздо меньшим, чем искривление траекторий небесных тел. Исходя из принципа эквивалентности, мы можем усмотреть происхождение этого отклонения. Ведь в ускоренной системе отсчета всякое прямолинейное и равномерное движение представляется криволинейным и неравномерным, причем то же самое должно случаться и в произвольном гравитационном поле.

Луч света, идущий от неподвижной звезды и проходящий вблизи Солнца, должен поэтому притягиваться последним и его траектория должна оказаться несколько вогнутой относительно Солнца (фиг. 143). Земной наблюдатель припишет звезде положение, соответствующее видимому глазом направлению светового луча, и, таким образом, звезда будет казаться смещенной на некоторое малое расстояние от Солнца. Это отклонение можно вычислить, исходя из ньютоновской теории тяготения, в которой луч света можно понимать, скажем, как комету, приближающуюся к Солнцу со скоростью света; поскольку гиперболическая траектория кометы, подобно эллиптической

бите планеты, не зависит от ее массы (вследствие равенства инерциальной и гравитационной масс), совершенно неважно, какая масса приписывается «частицам света». Исторически очень интересно, что эта идея была осуществлена еще в 1801 г. немецким математиком и топографом Зольднером. При этом получается формула, очень сходная с формулой Эйнштейна, но дающая результат, равный половине истинного отклонения. Это связано с тем обстоятельством, что по теории Эйнштейна гравитационное поле в окрестности Солнца гораздо сильнее, чем дает ньютонова теория. Это крошечное отклонение (ускользнувшее от внимания Эйнштейна, когда он предпринимал свою первую предварительную публикацию теории) и составляет особенно отчетливый критерий правильности общей теории относительности.

Фиг. 143. Искривление траектории светового луча от звезды в поле Солнца.

Отклонения видимых положений неподвижных звезд, расположенных поблизости от Солнца, можно наблюдать только во время полных солнечных затмений, поскольку все остальное время ярко светящееся Солнце не позволяет видеть звезды вблизи его диска.

Первая проверка эйнштейновских предсказаний была осуществлена главным образом благодаря инициативе английского астронома Эддингтона 29 мая 1919 г. Две английские экспедиции были направлены для наблюдения полного солнечного затмения — одна на западное побережье Африки, другая — в северную часть Бразилии. Обе вернулись с рядом фотографий звезд, окружающих Солнце. Результаты изучения полученных фотографий были объявлены 6 ноября 1919 г.; они провозгласили триумф теории Эйнштейна. Предсказанное Эйнштейном смещение, которое должно было составлять величину 1,75 дуговых секунд, было полностью подтверждено.

С тех пор измерения отклонений лучей света Солнцем были повторены при целом ряде солнечных затмений. Хотя такие измерения весьма трудны, не существует никаких сомнений относительно того, что эффект, очень близкий по величине к предсказываемым значениям, действительно существует; во всяком случае, величины, даваемые ньютоновской механикой (впервые

полученные Зольднером, а затем Эйнштейном в предварительной публикации его теории) и составляющие лишь половину релятивистского значения, вне всякого сомнения, не верны. Однако точное согласие между теорией и результатами измерений еще не достигнуто. Некоторые новейшие наблюдения дали отклонения, на 10% превышающие теоретически предсказанную величину. Обусловлено ли это отклонение ошибками измерения или оно свидетельствует о внутренней неполноте теории Эйнштейна — этот вопрос остается до будущих исследований. Одно несомненно: теория Эйнштейна гораздо ближе к истине, чем классическая или любая другая из до сих пор предложенных.

Теперь возникает вопрос, не позволит ли усовершенствование современных методов измерений наблюдать оптические релятивистские эффекты в гравитационном поле Земли. Этого недавно удалось добиться в случае смещения частоты спектральных линий благодаря поразительному открытию немецкого физика Мёссбауэра. Предел точности наблюдения положения спектральных линий, очевидно, определяется тем, что линии имеют определенную ширину, обусловленную эффектом Доплера, возникающим вследствие движения излучающих атомов. Но -лучи, испускаемые радиоактивными атомами, представляют собой электромагнитные или световые волны с короткими длинами волн; они излучаются из центров атомных ядер. В твердых телах атомы скреплены в кристаллическую решетку и их ядра сильно связаны с соседними ядрами. Благодаря этому отдача при испускании -кванта действует в основном на кристалл как целое, а не на отдельное ядро, вызывая, таким образом, пренебрежимо малую скорость и, следовательно, очень слабый доплер-эффект. Поэтому можно ожидать, что спектральные линии -лучей окажутся очень резкими. Это действительно было обнаружено в эксперименте.

Атом, испустивший -квант, может поглотить другой уквант, если последний имеет точно ту же частоту. Таким образом, если радиоактивные атомы использовать в качестве источника -лучей заданной частоты и направить эти лучи на атомы точно того же вида, уже испустившие перед этим аналогичные кванты и благодаря этому способные действовать как приемник квантов именно такой и никакой более частоты, то мы можем воспользоваться этим процессом для попытки обнаружить малые изменения частоты: ведь если частота изменилась, то кванты будут поглощаться меньше или совсем не будут поглощаться. Точность этого метода поразительно велика. Он позволяет наблюдать изменение частот, обусловленное доплер-эффектом, при чрезвычайно малых относительных скоростях источника и приемника. Даже для относительной скорости эффект можно заметить.

Таким способом было измерено смещение спектральных линий, обусловленное гравитационным полем Земли (Паунд и Ребка в Гарварде, 1960 г.; Крэншоу, Шиффер и Уайтхед в Харуэлле, 1960 г.). Отношение силы тяжести на Земле к соответствующей величине, создаваемой Солнцем, составляет Излучатель помещался на верхней площадке башни высотой, в 22 м, а приемник — у ее основания. При этом используется лишь малая часть, составляющая Измерения проводились с -линией железа относительная ширина которой равна Необходимо было измерить долю, составляющую примерно 1/100 этой величины. Результат измерения дал

с точностью около 10%, что находится в хорошем согласии с теоретическим значением, составляющим

До того как были осуществлены эти опыты, много дискутировались другие методы; предлагалось использовать не видимый свет и не ультракороткие -лучи, а, наоборот, гораздо более длинные волны, именно электромагнитные волны в области 1 см (радиолокационный диапазон). Техника здесь за последние годы сделала огромный прогресс; в настоящее время возможно поддерживать частоту передатчика - радиолокатора в высокой степени постоянной и измерять ее или ее отклонения с самой большой точностью. Один из таких методов сводился бы к установке излучателя и приемника у подножия и на вершине высокой горы, но это потребовало бы точности измерений, до сих пор еще не достигавшейся. Другой метод состоял бы в том, что излучатель нужно было бы поместить на искусственном спутнике Земли, а приемник — на ее поверхности. Благодаря большой разности высот необходимая точность в этом случае оказывается гораздо меньше и лежит уже не так далеко от достижимых в настоящее время точностей.