§ 9. ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС

В § 7 этой главы мы вывели закон сохранения массы или энергии [формула на стр. 264] с помощью закона сохранения импульса. В этом законе обнаруживается тесная взаимосвязь между импульсом и энергией — новое характеристическое соотношение в теории относительности, аналогичное соотношению, связывающему пространство и время.

Ранее, в § 3, мы вывели из преобразования Лоренца инвариант где координаты некоторой мировой точки Вспомним, что Означает инвариантность если в двух системах имеющих одно и то же начало, координаты точки есть то величина

не зависит от выбора системы отсчета.

Из импульса и энергии мы образуем квадратичную форму, которая после упрощения с помощью (78) приобретает вид

Итак, выражение слева представляет собой инвариант, т. е. не зависит от конкретной системы, в которой измеряются импульс и энергия. Отсюда напрашивается следующий вывод: импульс и энергия деленная на (или, другими словами, импульс и масса при переходе от системы к другой системе преобразуются так же, как именно — согласно преобразованию Лоренца.

Мы можем без труда доказать это. Система может иметь скорость относительно системы 5. Тогда (для простоты предполагаем, что все скорости направлены вдоль мы получаем следующую таблицу:

в системе : импульс энергия

в системе импульс энергия

где скорости и, и связаны теоремой сложения скоростей (77а);

Таким образом, мы получаем

или

и

Эти формулы преобразования совершенно аналогичны первой и четвертой формулам (706).

Если импульс направлен не параллельно оси а имеет компоненты в системе в системе то нужно заменить на в формулах (88а), (886) и дополнить их уравнениями Обращая эти формулы, получаем

в соответствии с (70а).

Формула (87) играет весьма важную роль. Она позволяет вычислить когда известно и наоборот:

В эйнштейновском доказательстве фундаментального закона инерции энергии было использовано соотношение между импульсом и энергией вспышки света:

Но свет представляет собой поток энергии со скоростью с. Поэтому, согласно теории относительности, его масса покоя должна быть равна нулю: , ибо в этом случае формула

(87а) приобретает вид

как и следовало быть.

Интересное приложение формулы преобразования импульса и энергии нашли в квантовой теории, о которой мы скажем очень коротко. Это теория, объясняющая атомные явления; начала ее заложил Планк (1900 г.). Одним из основных результатов этой теории является «квантование» энергии светового луча; это выражение означает, что энергия луча света с частотой не может иметь произвольного значения, но должна быть составлена из квантов конечной величины

где

— постоянная Планка, фундаментальная величина, характеризующая все внутриатомные процессы. Из формулы (89) следует, что масса и импульс кванта света:

длина волны светового луча; см. определение (35) стр. 99].

Таким образом, световую волну можно интерпретировать как пучок частиц с нулевыми массами покоя, импульсами и энергиями

Эти «световые кванты», или «фотоны», могут превращаться в другие частицы, коль скоро выполняются законы сохранения импульса и энергии. Мы рассмотрим специальный случай, в котором необходимо учитывать другой закон сохранения, именно сохранения заряда. В соответствии с этим законом полный заряд сталкивающихся и взаимодействующих частиц должен быть одним и тем же до и после столкновения. Как нашел Андерсон (1932 г.), кванты света, сталкиваясь с другими частицами (атомными ядрами), превращаются в пары частиц, одна из которых — электрон, а другая, называемая позитроном, — его положительный эквивалент. Позитрон имеет в точности те же свойства, что и электрон, за исключением заряда: его заряд — такой же по величине, но противоположного знака. Условие сохранения заряда выполняется благодаря тому, что создаются пары частиц. Закон сохранения энергии требует, чтобы энергия кванта света была больше, чем масса покоя пары. Но этого недостаточно. Необходимо постулировать также сохранение импульса.

Однако нетрудно видеть, что, когда пара порождается квантом света в свободном пространстве, оба закона сохранения не могут выполняться одновременно. Не углубляясь в детали, мы можем рассуждать так: если бы подобное превращение было возможным, то его можно было бы описать в любой системе отсчета. Но для наблюдателя в системе движущейся со скоростью в направлении распространения кванта света, энергия этого кванта согласно формуле (886), равна (нужно положить и разрешить уравнение относительно

Следовательно, выбирая скорость системы отсчета достаточно большой, можно сделать произвольно малой. Отсюда непосредственно видно, что в системе 5 энергия не может сохраняться, ибо, как мы только что убедились, она должна быть больше чем в любой системе. (В предельном случае энергия кванта света должна переходить в нуль: квант перестает существовать.)

Для того чтобы процесс рождения пары мог происходить, должна присутствовать еще одна частица, уносящая некоторую долю энергии и импульса таким способом, чтобы выполнялись законы сохранения. Следовательно, это превращение можно наблюдать только тогда, когда присутствует атомное ядро. Ядро не изменяется в течение процесса, оно лишь «заботится» об условиях сохранения. В этом случае наш аргумент о том, что в быстро движущейся системе энергия фотона чрезвычайно мала (так, что условие не может удовлетворяться), уже неприменим более, ибо атомное ядро в системе имеет очень большую энергию и может скомпенсировать разность.

Существует соотношение между током и зарядом, аналогичное соотношению между пространственной и временной координатами или соотношению между импульсом и энергией, которое мы только что обсудили. Мы рассмотрим сейчас это соотношение и сделаем небольшой экскурс в релятивистскую теорию электричества.

Предположим, что в кубе с ребром 10 находится электронов и, следовательно, заряд Тогда плотность заряда в этом объеме равна

Если все заряды покоятся, то плотность тока равна нулю.

Наблюдатель, относительно которого заряды движутся со скоростью в направлении одного из ребер куба, будет видеть сократившийся объем

так как ребро куба, параллельное направлению скорости, сжимается в отношении

Число электронов, однако, не может изменяться в зависимости от системы отсчета. Поэтому наблюдатель, измеряя плотность заряда, получит величину

Движущиеся заряды представляют собой ток, плотность которого внутри куба определяется, очевидно, равенством

С помощью (92) и (93) мы можем вывести инвариант, образованный из точно так же, как мы раньше строили инварианты из или из

Уравнения (92) и (93) можно записать также в виде

Следовательно, величины подчиняются тому же закону преобразования, что и преобразованию Лоренца. Именно,

или, после обращения,

в согласии с (70а), (706) и (88а), (886), (88в).

Таким образом, мы приходим к замечательному эффекту, рассмотрим длинную прямую проволоку, находящуюся в состоянии покоя и несущую некоторый ток. Проволока электрически нейтральна, так как в ней присутствует столько же положительных ионов в состоянии покоя, сколько в ней движется отрицательных электронов частиц на единицу объема). Электроны могут иметь скорость и. Теперь плотности заряда и тока можно записать таким образом:

Но наблюдатель, движущийся со скоростью вдоль проволоки, должен обнаружить, что проволока заряжена: ведь плотности зарядов, соответствующих электронам и ионам, которые он измерит, определяются трансформированными выражениями

складывая эти две величины, найдем полную плотность

Мы видим, что в результате получается положительный заряд.

Это явление можно проиллюстрировать диаграммой в плоскости (фиг. 131,б). Для простоты мы будем рассматривать одномерную модель проволоки и предполагать, что положительные ионы и отрицательные электроны следуют друг за другом на одинаковом расстоянии а вдоль проволоки (фиг. 131, а). В момент времени электроны и ионы могут располагаться в одних и тех же точках проволоки; мировые линии покоящихся ионов представляют собой прямые, параллельные оси а мировые линии электронов также параллельны друг другу, но наклонены в соответствии с их скоростью и. В системе движущейся относительно системы со скоростью расстояние между ионами вдоль оси должно отличаться от расстояния между электронами. На фиг. 131,б расстояние

меньше, чем Следовательно, плотность ионов превышает плотность электронов, и проволока поэтому оказывается заряженной положительно.

Рассмотрим поля, создаваемые током и зарядом в двух системах отсчета.

Фиг. 131. Релятивистская кинематика электрического тока в нейтральном проводнике. а — покоящиеся ионы и движущиеся электроны в проволоке, мировые линии ионов параллельны друг другу и оси мировые линии электроном параллельны между собой, но наклонены к оси, причем расстояния между соседними ионами и соседними электронами одинаковы и равны а. При наблюдении в системе движущейся относительно системы со скоростью расстояния между нонами не равны расстояниям между электронами

Мы знаем, что электрически нейтральная проволока, несущая ток в системе окружена только магнитным полем тогда как положительно заряженная проволока в системе создает, вокруг себя, кроме того, электрическое поле Следовательно, в теории относительности понятия электрического и магнитного полей не имеют независимого смысла; их следует объединить в единое понятие электромагнитного поля и Я), компоненты которого зависят от системы отсчета. Это означает, например, что если в одной системе отсчета существует только магнитное поле, то наблюдатель в

системе должен обнаружить и электрическое поле, и наоборот. Таким образом, мы приходим к чрезвычайно простому качественному объяснению электромагнитных явлений в движущейся материи, рассмотренных выше (гл. V, § 11): на фиг. 103 И 105 элемент материи движется в магнитном поле, поэтому наблюдатель, движущийся с этим элементом, наблюдает электрическое поле. Это электрическое поле в проводнике возбуждает электрический ток, а в изоляторе наводит электрические заряды на поверхности.

Следующий вопрос, который нам предстоит обсудить, — это оптические явления в движущейся материи.