§ 3. КРАХ ЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ

Однако, прежде чем мы продолжим наши размышления, необходимо преодолеть трудность, которая потребует значительных усилий.

Мы уже научились представлять движение в мире Минковского в виде мировых линий. Основу аппарата этой четырехмерной геометрии составляют мировые линии световых лучей или траектории инертных масс, движущихся в отсутствие сил. В старой теории такие мировые линии были прямыми во всех инерциальных системах. Но с позиций общей теории относительности все ускоренные системы эквивалентны, а в них мировые линии, которые раньше были прямыми, оказываются искривленными (гл. III, § 1, стр. 60, фиг. 32, а-е). Вместо них прямыми становятся другие. Более того, это изменение относится и к траекториям в пространстве. Понятия «прямой» и «искривленный» становятся относительными постольку, поскольку они относятся к траекториям световых лучей и свободно движущихся тел.

В результате этого начинает шататься все здание евклидовой геометрии, ибо его фундамент, по сути дела, составляет (см. гл. III, стр. 59) классический закон инерции, определяющий представление о прямой линии.

Можно было бы подумать, что эту трудность удастся преодолеть, пользуясь исключительно жесткими измерительными линейками для определения таких геометрических элементов, как прямая линия, плоскость и т. д. Но Даже и это невозможно, как доказывает Эйнштейн следующим образом.

Возьмем в качестве отправной точки пространственно-временную область, в которой в течение некоторого интервала времени относительно подходящим образом подобранной системы отсчета всякие гравитационные поля отсутствуют. Рассмотрим теперь в этой области тело, вращающееся с постоянной

скоростью, скажем, плоский круговой диск (фиг. 135), вращающийся вокруг оси, составляющей прямой угол с его плоскостью. Введем систему отсчета жестко связанную с этим диском. Тогда в системе существует гравитационное поле, направленное наружу от центра диска; его величина определяется центробежным ускорением

Пусть теперь наблюдатель в системе пытается обмерить диск. При этом в качестве единицы он пользуется линейкой определенной длины, которая в соответствии с его целью должна покоиться относительно системы наблюдатель в системе пользуется той же линейкой в качестве своей единицы длины; при этом линейка в процессе измерения должна, разумеется, покоиться относительно системы

Фиг. 135. Вращающаяся система отсчета.

Круговой диск вращается относительно системы у); с диском связана система Показаны малые измерительные линейки, одна — вдоль радиуса, другая — вдоль границы.

Теперь нам придется предположить, что следствия специального принципа относительности остаются справедливыми до тех пор, пока мы ограничиваемся лишь областями пространства и времени, в которых движение можно считать равномерным. Чтобы это было возможно, положим, что единичная линейка мала по сравнению с радиусом диска.

Когда наблюдатель в системе оперирует линейкой в направлении радиуса диска, наблюдатель в системе находит, что длина движущейся линейки относительно системы 5 остается неизменной и равной, скажем, 1 см. Это понятно, поскольку направление движения линейки перпендикулярно ее ориентации. Но если наблюдатель в системе приложит линейку вдоль края диска, то, согласно специальной теории относительности, наблюдателю в системе 5 линейка покажется укороченной. Если положить, что на длине диаметра диска укладывается 100 длин малой измерительной линейки, то наблюдателю в системе понадобится или

около 314 линеек, покоящихся в системе 5, чтобы измерить окружность диска; наблюдателю же в системе этого числа линеек окажется недостаточно. Ведь линейки, которые покоятся в системе кажутся из системы укороченными, и необходимо более чем 314 этих укороченных линеек для того, чтобы полностью покрыть длину окружности, ограничивающей диск.

В соответствии с результатами своих измерений наблюдатель в системе будет утверждать, что отношение длины окружности к ее диаметру равно не а больше этого числа. Это отношение возрастает с увеличением радиуса так как гравитационное поле пропорционально Итак, наш вывод противоречит евклидовой геометрии.

Соответствующий результат справедлив и для измерений времени. Представим себе пару синхронизированных часов, одни из которых покоятся в системе а другие, такой же конструкции, связаны с радиусом вращающегося диска, неподвижного относительно системы При сравнении показаний часов, связанных с диском, и часов, покоящихся в системе окажется, что часы диска идут медленнее, чем часы системы причем разность хода возрастает по мере удаления вращающихся часов от оси вращения (от центра). Только часы, расположенные в центре вращающегося диска, идут синхронно с часами системы поскольку эти часы имеют нулевую скорость относительно системы

Далее мы обнаруживаем, что невозможно синхронизировать между собой даже несколько часов, расположенных на самом диске, поскольку они будут идти тем медленнее по сравнению с часами системы чем больше они удалены от центра диска. Таким образом, невозможно прийти к разумному определению времени с помощью часов, которые покоятся относительно данной системы отсчета, если эта система находится во вращательном движении, т. е. имеет ускорение, или — что согласно принципу эквивалентности одно и то же — если в ней существует гравитационное поле. В гравитационном поле линейка оказывается длиннее или короче, а часы идут быстрее или медленнее в зависимости от расположения измерительного прибора.

Это означает крушение той основы пространственно-временной Вселенной, на которой строились все наши предыдущие рассуждения. Мы вновь вынуждены обобщить понятия пространства и времени, но теперь уже гораздо более решительным образом, оставляющим далеко позади все, что мы пытались сделать до сих пор.

Очевидно, что совершенно бессмысленно определять координаты и время обычным способом, так как при этом все фундаментальные геометрические понятия — прямая линия, плоскость, круг и т. д. — воспринимаются как непосредственно

заданные, а применимость евклидовой геометрии в пространстве или в обобщенном по Минковскому пространстве-времени автоматически подразумевается.

В связи с этим перед нами встает проблема описать четырехмерный мир и его законы на базе априорных представлений, не опираясь на какую-либо конкретную геометрию.

Может показаться, что почва уходит из-под наших ног. Все шатается, прямое оказывается искривленным, кривое выпрямляется. Однако трудность этого предприятия не смутила Эйнштейна. Математики к тому времени уже проделали важную предварительную работу. Гаусс (1827 г.) уже дал набросок теории искривленных поверхностей в форме обобщенной двумерной геометрии, а Риман (1854 г.) обобщил эти представления на дифференцируемые многообразия любого числа измерений. Важный вклад в теорию внесли среди других Кристоффель, Риччи и Леви-Чивита. Мы не можем здесь показать, как используются эти математические методы, хотя достаточно глубокое понимание общего принципа относительности невозможно без их помощи.

Поэтому читатель не должен ждать от последующего изложения исчерпывающих объяснений идей Эйнштейна. Он найдет здесь лишь картины и аналогии, которые всегда оказываются отнюдь не лучшей заменой точных представлений.

Но если эти наметки привлекут читателя к дальнейшему изучению, их цель будет достигнута.