§ 3. ВСЕМИРНОЕ ТЯГОТЕНИЕ

Закон ускорения, установленный в предыдущем параграфе, имеет одно важное свойство, общее с силой гравитации на Земле (весом): он совершенно не зависит от природы движущегося тела. Вычислив силу по ускорению, мы обнаруживаем, что она также направлена в сторону Солнца. Таким образом, эта сила есть сила притяжения; ее величина равна

Она пропорциональна массе движущегося тела так же, как вес G = mg тела на Земле.

Это навело Ньютона на мысль, что обе силы имеют одно и то же происхождение. В наши дни этот факт, дошедший к нам через столетия, стал таким трюизмом, что мы с трудом можем представить себе всю смелость и широту ньютоновского новаторства. Какое могучее воображение необходимо было для того, чтобы представить себе движение планет вокруг Солнца или Луны вокруг Земли как процесс «падения», следующий тем же законам и происходящий под действием той же самой силы, что и падение камня, выроненного из руки! То, что планеты или Луна не падают на центральные, притягивающие их тела, обусловлено законом инерции, следствием которого является возникновение центробежной силы. Мы позднее вернемся еще к этому вопросу.

Сначала Ньютон проверил свою идею о всемирном тяготении на примере Луны, расстояние до которой от Земли было известно из прямых измерений. Эта проверка настолько важна, что мы повторим весь чрезвычайно простой расчет в качестве доказательства, что все научные идеи становятся верными и ценными, лишь когда вычисленные и измеренные значения согласуются между собой.

Роль центрального тела теперь выполняет Земля; Луна играет роль планеты. Символ обозначает радиус лунной орбиты, период обращения Луны вокруг Земли. Пусть радиус Земли равен а. Если гравитационная сила на Земле действительно

имеет то же происхождение, что и сила притяжения, действующая на Луну со стороны Земли, то ускорение обусловленное гравитацией, должно, согласно закону Ньютона (20), иметь вид

где С имеет то же значение для Луны, что и в формуле (19), именно

Подставляя это значение в выражение для мы получаем

Далее, «сидерический» период обращения Луны вокруг Земли, т. е. отрезок времени между двумя положениями Луны, при которых линия, соединяющая ее с Землей, имеет одно и то же направление относительно звезд, равен дней 7 часов 43 минуты 12 секунд сек.

В физике общепринято записывать числа, учитывая лишь столько знаков, сколько необходимо для дальнейших вычислений. Поэтому мы пишем

Расстояние от Луны до центра Земли примерно в 60 раз больше радиуса Земли, или, более точно,

Радиус Земли сам по себе легко запомнить, так как метрическая система связана с ним довольно просто. В самом деле, одна десятимиллионная часть квадранта, т. е. одна сорокамиллионная (или 4-107) часть окружности Земли —

Если подставить эти числа в (22), мы получим

Эта величина точно совпадает с полученной из опытов с маятниками на Земле (см. гл. II, § 12).

Огромное значение этого результата состоит в том, что он представляет релятивизацию силы веса. Для древних вес означал тяготение к абсолютному «вниз», которое испытывают все земные тела. Открытие сферической формы Земли принесло

с собой релятивизацию направления силы веса: она стала означать тяготение к центру Земли.

Теперь доказана идентичность веса и силы притяжения, которая удерживает Луну на ее орбите. Поскольку не может быть никакого сомнения в том, что вес по природе аналогичен силе, удерживающей Землю и другие планеты на их орбитах вокруг Солнца, мы приходим к мысли, что тела не просто «тяжелы», но взаимно тяжелы, или тяжелы относительно друг друга. Земля как планета тяготеет к Солнцу, но она и сама притягивает Луну. Очевидно, это лишь приближенная картина истинного положения дел, так как Солнце, Луна и Земля все притягивают друг друга. Конечно, до тех пор, пока мы имеем дело с орбитой Земли вокруг Солнца, само Солнце можно с высокой точностью считать покоящимся, ибо его огромная масса препятствует возникновению заметных ускорений; наоборот, Луну можно не учитывать вследствие ее малой массы. Однако точная теория должна принимать во внимание эти влияния, называемые «возмущениями».

Прежде чем перейти к более глубокому изучению этого вопроса, составившего основной успех ньютоновской теории, придадим закону Ньютона его окончательную форму. Мы видели, что планета, удаленная от Солнца на расстояние испытывает притяжение, величина которого (21) равна

где С — постоянная, зависящая только от свойств Солнца, но не от свойств планеты. Однако в соответствии с нашей новой точкой зрения о взаимности или относительности веса планета также должна притягивать Солнце. Если масса Солнца, а с — постоянная, зависящая лишь от природы планеты, то сила, с которой планета действует на Солнце, должна выражаться как

Выше, вводя понятие силы (гл. И, § 1, стр. 23), мы использовали принцип равенства действия противодействию, в котором заключается один из простейших и наиболее несомненных законов механики. Если его применить к рассматриваемому случаю, следует положить или

Отсюда следует, что

или

Следовательно, это отношение имеет одно и то же значение для обоих тел (Солнца и планеты), а значит, и для любого тела вообще. Если назвать эту величину то можно записать

Коэффициент пропорциональности называют гравитационной постоянной.

Ньютоновский закон всемирного тяготения теперь принимает симметричную форму

Он утверждает, что:

Два тела притягивают друг друга с силой, пропорциональной массе каждого тела и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.