§ 4. КРУГОВОЕ ДВИЖЕНИЕ

Существует лишь один случай, который мы хотели бы смотреть более подробно, а именно движение точки по круговой орбите (фиг. 17,а).

Фиг. 17. К объяснению центростремительного ускорения при круговом движении с постоянной скоростью

В соответствии с уже сказанным это движение является ускоренным, так как направление скорости постоянно изменяется. Если бы движение было не ускоренным, то движущаяся точка перемещалась бы из положения А по прямой линии с постоянной скоростью Но поскольку на самом деле точка должна оставаться на круговой орбите, она должна иметь дополнительную скорость или ускорение, направленное к центру — точке Это ускорение называют центростремительным

ускорением. Именно оно заставляет скорость в близлежащем от начала движения положении В, в которое попадает движущаяся точка через малый интервал времени изменить направление, которое эта скорость имела в точке А. На отдельной диаграмме (фиг. 17,б) мы провели из точки С в точки векторы скорости в точках принимая во внимание их личины и направления. Величины этих векторов одни и те же (именно равные поскольку точка движется по окружности с постоянной скоростью, но направления их различны. Если соединить конечные точки двух векторов скорости, то линия, соединяющая их, очевидно, будет представлять собой дополнительную скорость которая превращает первое состояние скорости во второе. Итак, мы получили равнобедренный треугольник который имеет основание и стороны Мы сразу видим, что угол а при вершине треугольника равен углу, образованному двумя радиусами окружности и стягиваемому Дугой, по которой движется точка. Действительно, скорости в положениях А к В перпендикулярны радиусам и поэтому и те и другие заключают один и тот же угол. Таким образом, два равнобедренных треугольника и подобны, и справедлива пропорция

Итак, и более того, равно радиусу круга а равно дуге если не считать малой ошибки, которую можно сделать как угодно ничтожной, делая интервал времени достаточно малым.

Таким образом,

Можно разделить эту последнюю формулу на и заметить, что Отсюда

Фиг. 18. Представление кругового движения с постоянной скоростью. Скорость о и радиус окружности выбраны так, что каждые четыре секхнды точка описывает одну полную окружность.

центростремительное ускорение равно квадрату линейной скорости, деленной на радиус.

Эта теорема, как мы увидим, служит основой одного из первых и наиболее важных эмпирических доказательств ньютоновской теории гравитации.

Может быть, не лишне отчетливо представить себе, как выглядит такое равномерное вращательное движение в графическом изображении в -пространстве. Очевидно, это можно осуществить, вообразив, что точка равномерно движется вверх параллельно оси времени одновременно совершая вращательное движение. Мы получаем спираль (винтовую линию), которая уже исчерпывающим образом представляет и траекторию точки, и развитие движения во времени. На фиг. 18 эта спираль изображена на поверхности цилиндра, основание которого лежит в плоскости .