§ 14. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ

Однако существует закон, который сильно упрощает решение этих задач и дает общий принцип движения. Это — закон сохранения энергии, который сыграл исключительно важную роль в развитии физической науки. Мы лишь проиллюстрируем его смысл на нескольких простых примерах.

Груз маятника, освобожденный после того, как он был поднят до определенной точки, поднимается на противоположной относительно положения равновесия стороне на ту же высоту (за исключением малого отклонения, вызванного трением и сопротивлением воздуха) (фиг. 28).

Фиг. 28. Если груз маятника начинает движение в точке А, то он достигает положения В, имеющего ту же высоту.

Фиг. 29. Если шар начинает движение в точке А, то точка В, в которой направление движения изменится на противоположное, будет лежать на одном и том же уровне независимо от формы траектории. Скорость в точке определяется только разностью высот точек

Если заменить круговую траекторию какой-либо другой, например, заставляя шар двигаться вдоль рельсов игрушечной «железной дороги» (фиг. 29), то оказывается справедливым тот же самый результат: шар всегда поднимается на ту же высоту, с которой начинал движение.

Отсюда, естественно, следует, что скорость шара в каждой точке его траектории зависит лишь от «глубины» этой точки относительно исходной точки А. Чтобы убедиться в этом, представим себе, что отрезок траектории изменился, а остальная часть осталась неизменной. Теперь, если бы шар приходил в точку из точки А вдоль некоторой траектории со скоростью, отличной от той, с которой он попадает в эту точку вдоль другой траектории, то при дальнейшем движении от точки к В шар в каждом случае не попадал бы точно в точку В. В самом деле, ведь для этого необходимо, очевидно, чтобы скорость в точке была определена единственным образом. Следовательно,

скорость в точке не зависит от пройденной траектории и, поскольку произвольна, этот вывод справедлив в общем случае. Таким образом, скорость должна определяться только высотой падения k. Справедливость этого закона ограничена предположением, что путь («рельсы») не оказывает сопротивления движению шара (т. е. на шар не действует никакая сила в направлении движения), но лишь выдерживает оказываемое на него шаром вертикальное давление. Когда рельсы отсутствуют, мы получаем случай тела, свободно падающего или брошенного; здесь справедлив тот же результат: скорость в каждой точке зависит лишь от высоты падения.

Фиг. 30. Координата определяет высоту относительно земной поверхности

Этот факт можно установить не только экспериментально, но и вывести из законов движения. Можно определить и закон, связывающий скорость с высотой, именно:

Пусть высота над уровнем земли (фиг. 30), скорость, масса и вес тела. Тогда величина

остается постоянной в течение всего процесса движения.

Для того чтобы доказать это, предположим сначала, что представляет собой произвольную величину, зависящую от движения и, следовательно, изменяющуюся от одного момента времени к другому. Пусть изменяется на величину в течение малого интервала времени будем называть отношение скоростью изменения точно так же, как и раньше, при определении орбитальной скорости и ускорения предположим, что интервалы времени можно сделать как угодно малыми. Если величина не изменяется с течением времени, то скорость ее изменения, разумеется, равна нулю, и наоборот. Изменение величины можно определить следующим образом: за время высота падающего тела уменьшается на а скорость возрастает на Следовательно, по прошествии времени величина становится равной

Но

Эта формула утверждает, что квадрат, составленный из отложенных вдоль одной и той же прямой линии, можно

разложить на квадрат со стороной и, квадрат со стороной и два прямоугольника, парные стороны которых равны Отсюда следует, что

Если отнять отсюда начальное значение то мы получаем

или, поскольку

Следовательно, скорость изменения равна

Членом, содержащим можно пренебречь, поскольку его можно сделать как угодно малым, бесконечно уменьшая интервал времени. Поэтому окончательно для скорости изменения мы получаем

Но, согласно законам механики, это выражение равно нулю, так как из (13) следует, что Таким образом, мы доказали, что величина определяемая формулой (15), остается неизменной с течением времени. Если начальное положение и начальная скорость движения заданы, т. е. заданы значения в момент времени то выражение согласно формуле (15), имеет определенное значение и сохраняет его в течение всего процесса движения.

Фиг. 31.

Отсюда следует, что если тело поднимается, т. е. если возрастает, то должно уменьшаться, и наоборот. Один из двух членов в выражении может возрастать лишь за счет уменьшения другого. Первый член представляет собой меру скорости тела, второй — высоту, которую тело преодолело против силы

гравитации. Эти члены имеют специальные названия:

называют или кинетической энергией.

называют способностью совершать работу, или потенциальной энергией.

Их сумму

называют просто механической, или полной, энергией тела; закон, который утверждает, что полная энергия остается неизменной при движении тела, называется законом сохранения энергии.

Размерность энергии равна Ее единица —

Название способность совершать работу проистекает, конечно, из представления о работе, которую совершает человеческое тело, поднимая какой-либо вес. Согласно закону сохранения энергии, эта работа превращается в кинетическую энергию при падении. Если, с другой стороны, придать телу кинетическую энергию, бросая его вверх, то при подъеме эта энергия превращается в потенциальную энергию, или способность совершать работу.

Все, что было сказано относительно движения падающих тел, в точности справедливо и в более широком случае систем, состоящих из любого числа тел, постольку, поскольку выполняются два условия, а именно:

1. Не должно присутствовать внешних влияний, т. е. система должна быть замкнутой в себе — изолированной.

2. Не должны происходить явления, при которых механическая энергия превращается в тепловую, электрическую или химическую энергию и т. п.

Когда эти два условия выполняются, закон о том, что полная механическая энергия

всегда остается постоянной, справедлив, причем кинетическая энергия зависит от скоростей, а потенциальная — от положений движущихся тел.

В механике небесных тел превосходно реализуется этот идеальный случай. Здесь строго справедлива идеализированная динамика, принципы которой мы сформулировали. На Земле же дело обстоит отнюдь не так. Каждое движение сопряжено с трением, вследствие которого энергия движения превращается в тепло. Машины, с помощью которых мы создаем движение,

превращают тепловые, химические, электрические и магнитные силы в механические силы, поэтому закон сохранения энергии в его узкой, механической форме здесь неприменим. Но его всегда можно обобщить, придав ему такую форму, что он будет выполняться. Обозначим тепловую энергию через химическую — через С, электромагнитную — через тогда будет справедлив закон, состоящий в том, что для замкнутых систем сумма

всегда остается постоянной.

Попытка проследить путь открытия и логической эволюции этого факта, в чем большую роль сыграли Роберт Майер, Джоуль (1842 г.) и Гельмгольц (1847 г.), или рассмотреть, как определяются количественно немеханические формы энергии, завела бы нас слишком далеко. Однако мы будем в дальнейшем использовать общее понятие энергии, когда обратимся к вопросу о чрезвычайно тесной взаимосвязи между массой и энергией, установленной теорией относительности.