§ 4. ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Задача построения геометрии без наперед заданного аппарата прямых линий и соответствующей им евклидовой системы аксиом и теорем отнюдь не так невероятна, как может показаться на первый взгляд. Представим себе землемера, который должен обмерить холмистый участок земли, покрытый густым лесом, и затем сделать карту участка. Из каждой точки он может видеть лишь небольшую часть окружающего. Теодолиты для нашего землемера бесполезны; по сути дела, ему приходится рассчитывать только на измерительную рулетку. Она позволяет измерять небольшие треугольники или четырехугольники, вершины которых можно отмечать колышками, вбитыми в почву; соединяя такие непосредственно измеримые фигуры друг с другом, землемер может постепенно продвигаться вперед к более удаленным участкам леса, которые сразу он рассмотреть не мог бы.

Говоря абстрактно, землемер может пользоваться методами обычной евклидовой геометрии в небольших областях. Но эти методы оказываются неприменимыми ко всему земельному

участку как целому. Такой участок можно геометрически изучить лишь шаг за шагом, переходя от одного элемента к другому. Более того, евклидова геометрия, строго говоря, неприменима на холмистых участках: на такой поверхности не существует прямых линий вообще. Короткую ленту линейки можно считать прямой, но не существует прямой линии, соединяющей все точки поверхности от долины до долины или от холма до холма. Евклидова геометрия, таким образом, в определенном смысле верна лишь для малых, или инфинитезимальных, областей, тогда как в более обширных областях действует более общее представление о пространстве, или, вернее, о поверхности.

Фиг. 136. Два пересекающихся семейства кривых, служащие координатами на поверхности.

Если землемер решил действовать систематически, он сначала покроет лесистую поверхность сетью линий, помечая их колышками или «привязывая» к определенным деревьям. Ему понадобится два пересекающихся семейства линий (фиг. 136). Линии будут выбраны по возможности гладкими и непрерывно искривленными, а в рамках каждого семейства будут последовательно перенумерованными. Возьмем в качестве символического обозначения любого члена одного семейства, а у — любого члена другого семейства.

Каждую точку пересечения тогда будут характеризовать два числа скажем Все промежуточные точки можно характеризовать дробными значениями х и у. Этот способ определения точек искривленной поверхности впервые использовал Гаусс, поэтому х и у называют гауссовыми координатами.

Самая характерная черта гауссова метода состоит в том, что х и у не означают ни длин, ни углов, ни каких-либо других измеримых геометрических величин, а являются просто числами, как в американском способе обозначения улиц и домов.

Задача определения единичной меры в этом исчислении точек на участке полностью ложится на землемера. Длина его

рулетки определяет область, соответствующую одной ячейке в сетке гауссовых координат.

Теперь землемер может обмерять ячейку за ячейкой. Каждую из этих ячеек можно рассматривать как малый параллелограмм; она полностью определена, как только две прилегающие стороны и угол между ними известны. Землемер должен обмерить каждую из этих ячеек и затем нанести ее на свою карту. Проделав эту процедуру для всей координатной сетки, он, очевидно, получит исчерпывающие сведения о геометрии участка на своей карте.

Вместо трех чисел для каждой ячейки (две стороны и угол) общепринято пользоваться другим методом определения мер, преимущество которого состоит в том, что он более симметричен.

Фиг. 137. Обобщенная теорема Пифагора.

Рассмотрим одну из ячеек — параллелограмм, стороны которого соответствуют двум следующим друг за другом номерам (скажем, см. фиг. 137). Пусть некоторая точка внутри этой ячейки, ее расстояние от точки О, лежащей в вершине угла, образованного координатными линиями с меньшими номерами. Это расстояние определяется с помощью измерительной рулетки. Мы проводим через точку параллели к двум координатным линиям: эти параллели пересекают координатные линии в точках Далее, пусть С — основание перпендикуляра, опущенного из точки на координату

Точкам при этом также соответствуют числа, или гауссовы координаты в рамках нашей координатной сетки. Точку А можно определить, скажем, измерив сторону параллелограмма, на которой лежит точка А, расстояние и взяв отношение этих двух длин в качестве приращения координаты соответствующего смещению от О до А. Само это приращение мы будем обозначать через выбрав О за начало гауссовых координат. Аналогичным образом определим гауссову координату точки В как отношение, в котором В делит соответствующую сторону параллелограмма. Тогда, очевидно, представляют собой гауссовы координаты точки относительно О. Если х и у — номера ячейки, соответствующей угловой точке О, или ее гауссовы координаты относительно

произвольно заданного начала, то представляют собой малые приращения

Истинное расстояние равно, конечно, не а, скажем, где а — определенная величина, которую нужно найти посредством измерения. Точно так же истинная длина равна не а некоторому Если передвигать точку то ее гауссовы координаты будут меняться; числа же определяющие отношения гауссовых координат к истинным длинам, остаются неизменными.

Найдем теперь выражение для расстояния из прямоугольного треугольника с помощью теоремы Пифагора.

Имеем

Но значит

С другой стороны, в прямоугольном треугольнике

Следовательно,

Здесь Далее, представляет собой проекцию отрезка на сторону ячейки, и, следовательно, находится в определенном отношении к нему, скажем Итак, получаем

Здесь — фиксированные дробные числа. Общепринято обозначать три множителя этого уравнения несколько иным способом, именно

Эту формулу можно назвать обобщенной теоремой Пифагора в гауссовых координатах.

Три величины могут служить так же, как две стороны и угол для определения расстояний и положений точек в пределах параллелограмма. Поэтому мы называем их метрическими коэффициентами и используем выражение метрика поверхности для величины определяемой формулой (97). Значения метрических коэффициентов изменяются от ячейки к ячейке, что следует либо отметить на карте, либо дать в форме математической функции от х, у — гауссовых координат точки О. Если они известны для каждой ячейки, то с помощью формулы (97) можно вычислить истинное расстояние

от начала координат до любой точки лежащей в любой ячейке, коль скоро гауссовы координаты х, у точки О известны.

Таким образом, метрические коэффициенты определяют всю геометрию поверхности.

Нам возразят, что это утверждение не может быть верным. Ведь сетка гауссовых координат была выбрана совершенно произвольно, и, таким образом, произвольность распространяется и на величины Это верно. Можно выбрать другую координатную сетку; мы получили бы расстояние между теми же точками в виде выражения, структура которого аналогична формуле (97), но с другими множителями §22- Однако, вне всякого сомнения, существуют правила, позволяющие установить формулы преобразования, связывающие похожие на те, с которыми мы уже познакомились выше.

Всякий действительный геометрический элемент на поверхности, очевидно, должен выражаться формулами, не изменяющимися при заменах гауссовых координат (т. е. инвариантными). Это превращает геометрию поверхности в теорию инвариантов весьма общего вида. Единственное требование к координатной сетке состоит в том, что она должна искривляться только плавно и покрывать всю поверхность без щелей, причем ни одна точка не должна оказаться покрытой дважды.

Итак, каковы же геометрические задачи, которые предстоит решить нашему землемеру после того, как он нашел метрику?

На кривой поверхности существуют не прямые линии, а наиболее прямые; они же образуют и кратчайшие соединения между парами Точек. Их математическое название — «геодезические линии»; математически они характеризуются следующим образом: делим произвольную линию на поверхности на малые измеримые отрезки длиной тогда сумма

вдоль геодезической, соединяющей точки короче, чем вдоль любой другой линии, проходящей через эти точки (фиг. 138). Отрезки можно определить по обобщенной теореме Пифагора (97), если известны.

На сферической поверхности, как известно, «наибольшие» окружности, лежащие на сфере, образуют кратчайшие расстояния.

Фиг. 138. Сравнение геодезической линии с другой (произвольной) кривой.

Эти окружности вырезаются плоскостями, проходящими через центр. На других поверхностях кратчайшие линии нередко представляют собой весьма сложные кривые; тем не менее в рамках этой поверхности они оказываются простейшими кривыми и образуют каркас геометрии этой поверхности точно так же, как прямые линии образуют каркас евклидовой геометрии на плоскости.

Геодезические определяются, конечно, инвариантными формулами. Они представляют действительные геометрические свойства поверхности. Все остальные инварианты можно вывести из этих основных инвариантов. Однако этот вопрос выходит за рамки нашего изложения.

Другое фундаментальное свойство поверхности — ее кривизна. Ее обычно определяют с помощью третьего пространственного измерения. Кривизна сферы, например, измеряется через ее радиус, именно как расстояние от точки на поверхности до центра сферы, который, разумеется, лежит вне самой сферической поверхности. Землемер в лесистой области, конечно, не смог бы использовать это определение кривизны. Он не может перемещаться в точки, лежащие вне поверхности, поэтому должен попытаться определить кривизну с помощью только своей измерительной рулетки. Гаусс доказал, что это действительно возможно. Идея его рассуждений состоит, попросту говоря, в следующем.

Фиг. 139. Шестиугольник для определения внутренней кривизны поверхности.

Землемер берет 12 проволочных спиц одинаковой длины и делает из них правильный шестиугольник, соединяя углы радиусами, как показано на фиг. 139. Согласно хорошо известной теореме элементарной геометрии, возможно собрать такую фигуру из 12 одинаковых спиц в одной плоскости так, что все они будут одновременно полностью растянуты. Это, пожалуй, весьма замечательное свойство: ведь когда 5 из 6 равносторонних треугольников уже соединены и растянуты, то последняя спица должна точно войти в оставшийся промежуток, и никакая подгонка ненужна. Мы еще в школе узнали, что спица подходит точно, но над тем, что заучено в школе, обычно мало задумываются в дальнейшем. Итак, совершенно поразительно, что в промежуток входит проволока в точности той же длины, что и другие стороны шестиугольника.

На самом деле этот прием «срабатывает» только на плоскости. Если попробовать проделать ту же самую операцию на

искривленной поверхности, причем так, чтобы и центр, и все шесть вершин шестиугольника были на этой поверхности, то выяснится, что шестиугольник не смыкается. На вершинах холмов и в серединах долин спица оказывается слишком длинной, в переходных областях, идущих от одной низины к другой между двумя холмами (где поверхность имеет форму сёдла), — она слишком коротка. Читатель может сам убедиться в этом, взяв 12 проволочных спиц и несколько подушек.

Однако этот опыт наводит нас на идею о критерии, позволяющем определять кривизну, не покидая самой поверхности: в самом деле, если шестигранник полный, то поверхность плоская, если нет, то она искривлена. Мы не будем выводить меру кривизны. Сказанного достаточно, чтобы убедиться, что эту меру можно определить самым строгим образом. Она, очевидно, зависит от того, как изменяются от точки к точке метрические коэффициенты. Гаусс доказал, что мера кривизны может быть выражена с помощью величин и является инвариантом поверхности, не зависящим от выбора гауссовой сетки.

Гауссова теория поверхностей представляет собой метод построения геометрии, к которому можно применить выражение теория близкодействия — термин, заимствованный из физики. Исходным моментом такого подхода служат не законы поверхности в большом масштабе, но дифференциальные свойства поверхности (свойства в малом): метрические коэффициенты и инварианты, образованные из них, и прежде всего мера кривизны. Форму поверхности и ее геометрические свойства в целом можно определить в этом случае последовательными вычислениями, механизм которых весьма сходен с процедурой решения дифференциальных уравнений в физике. Евклидова геометрия в отличие от гауссовой являет собой типичную теорию действия на расстоянии. Именно поэтому новая физика, построенная исключительно на понятиях близкодействия, на представлении о поле, нашла евклидову схему недостаточной и вынуждена была выбрать новые пути в духе Гаусса.