§ 11. ПРИМЕР: УПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ

В качестве примера зависимости между силой, массой и ускорением рассмотрим теперь тело, которое может испытывать колебания под действием упругих сил. Возьмем плоскую стальную пружину и закрепим один из ее концов так, что пружина покоится, лежа в горизонтальном направлении (и не свисает вниз). На другом конце пружины укрепим шар (фиг. 22). Шар, таким образом, может двигаться вперед — назад в горизонтальной плоскости. Сила тяжести (гравитация) не влияет на движение шара; оно зависит лишь от упругой силы пружины.

Фиг. 22. Шар, прикрепленный к горизонтальной плоской пружине, в своем положении равновесия (пружинный маятник).

Если смещения малы, то шар движется почти вдоль прямой линии. Пусть направление его движения будет осью

Если шар привести в движение, он будет выполнять периодические колебания, природу которых можно истолковать следующим образом: немного отклонив шар рукой от положения равновесия, мы почувствуем силу пружины, стремящуюся восстановить положение равновесия. Если шар отпустит, то эта сила придаст ему некоторое ускорение, благодаря которому шар начнет возвращаться к среднему положению с возрастающей скоростью. В этом процессе восстанавливающая сила и, следовательно, ускорение непрерывно уменьшаются и становятся равными нулю, когда шар проходит через среднее положение, так как в этой точке пружина находится в равновесии и на шар не действуют никакие ускоряющие силы. Таким образом, в точке, где скорость имеет максимально значение, ускорение оказывается минимальным. Вследствие своей инерции шар быстро проскочит равновесное положение, и тогда сила пружины начнет замедлять его движение, служа своеобразным тормозом. Когда шар достигнет равного исходному отклонения по другую сторону от положения равновесия, скорость упадет до нуля,

а восстанавливающая сила достигнет максимальной величины. В то же самое время ускорение в обратном к движению направлении достигнет максимальной величины. Начиная с этого момента и далее процесс будет повторяться в обратном направлении.

Заменив теперь этот шар другим, с другой массой, мы увидим, что характер движения остался тем же самым, но период колебаний изменился. Когда масса больше, движение оказывается более медленным, а ускорение уменьшается; уменьшение массы приводит к увеличению числа колебаний в секунду.

Во многих случаях восстанавливающую силу К можно считать точно пропорциональной отклонению Тогда процесс движения можно представить геометрически следующим образом:

Рассмотрим точку движущуюся равномерно вдоль окружности радиуса а; пусть она делает полный оборот за время Число оборотов в секунду тогда равно Точка движется вдоль окружности, длина которой равна со скоростью Если точка проходит малое расстояние по кругу за время мы находим, что скорость равна

Фиг. 23. Представление движения пружинного маятника, изображенного на фиг. 22.

А — проекция на ось X точки движущейся по окружности с постоянной скоростью.

Примем теперь центр окружности О за начало прямоугольной системы координат, в которой точка имеет координаты х, у. Тогда проекция А точки на ось будет двигаться вперед и назад при движении точки точно так же, как масса, прикрепленная к пружине. Эта точка А может представлять колеблющуюся массу. Когда сдвигается вперед на малое расстояние точка А смещается вдоль оси на малое расстояние и скорость точки А становится равной Из фиг. 23 видно, что смещения представляют собой катет и гипотенузу малого прямоугольного треугольника, подобного большому прямоугольному треугольнику так как соответствующие катеты этих треугольников перпендикулярны друг другу. Отсюда мы получаем пропорцию

Следовательно, скорость точки А можно записать как

Далее, проекция В точки выполняет точно такие же колебания типа маятника вдоль оси у. При малом смещении точки точка В движется назад на расстояние и так же, как для мы получаем

Это изменение координаты у соответствует изменению скорости точки А, которое дается равенством

Знак «минус» при до означает, что скорость уменьшается. Ускорение равно

и тоже имеет отрицательный знак.

Итак, ускорение при таком колебательном движении точки А, по сути дела, в каждый момент времени пропорционально отклонению Для силы получаем

Отрицательный знак при К означает, что сила во всех положениях стремится вернуть шар в положение равновесия

Таким образом, измеряя силу, соответствующую отклонению и подсчитывая число колебаний в секунду, мы можем определить массу пружинного маятника.

Фиг. 24. Колебание пружинного маятника на -диаграмме. период колебания.

Изображением мировой линии такого колебательного движения, очевидно, будет волнообразная кривая в плоскости где направление колебаний (фиг. 24). При построении фиг. 24 предполагалось, что в момент времени шар проходит через среднее положение при движении вправо. Можно видеть, что каждый раз, когда мировая линия шара пересекает ось т. е. при кривая наиболее сильно наклонена к оси это означает, что в таких точках скорость максимальна. Следовательно, траектория в этих точках не искривлена и

изменение скорости, а значит и ускорение равно нулю. Для точек, которые соответствуют максимальному отклонению, верно противоположное.