§ 8. ИНЕРЦИЯ ЭНЕРГИИ

Существует один момент, связанный с неупругим столкновением, которого мы не касались в предыдущем параграфе: мы не обсудили соотношение между массами шаров и массой двух соединившихся шаров после столкновения.

Фиг. 129. Столкновение двух-шаров (фиг. 126,б) при наблюдении в системе в которой общая скорость после столкновения равна нулю. Скорости шаров до столкновения были равны

Этот вопрос можно выяснить с помощью уравнения

Сначала рассмотрим массу покоя соединившихся шаров. Мы получаем ее, переходя к системе в которой скорость массы равна нулю. (фиг. 129). Очевидно, система движется со скоростью относительно системы Поскольку два шара одинаковы, из соображений симметрии вытекает, что до столкновения они имеют противоположно направленные скорости в системе (При преобразовании переходит в 0, и переходит в и переходит в

Тогда закон сохранения массы записывается как

или

В случае, когда скорости малы, имеем

Масса покоя не равна сумме масс двух сталкивающихся шаров, как можно было думать. Существует вклад второго порядка; член, определяющий кинетическую энергию двух шаров до столкновения, деленную на Кинетическая энергия одного шарика равна

Когда два шара переходят в состояние покоя при столкновении, их кинетическая энергия превращается в тепловую энергию, количество которой Мы видим, что в нашем случае

Это можно истолковать, предположив, что добавление тепловой энергии приводит к увеличению массы на

Другим примером того, как изменяется масса, может служить добавление кинетической энергии. Рассмотрим нормальную зависимость массы от скорости для скоростей

Вновь масса возросла на количество энергии, деленное на где энергия, о которой идет речь, теперь есть кинетическая энергия движущегося тела.

Можно обобщить эти результаты, сказав, что добавление дополнительной энергии вызывает изменение массы тела на величину Мы доказали это только в случаях кинетической энергии и тепловой, однако мы ожидаем, что такое утверждение будет справедливым и для всех других видов энергии (электрической энергии, химической и т. д.)

Если умножить уравнение на и использовать то получается соотношение

или

Но это — закон сохранения энергии: энергия до столкновения (кинетическая энергия равна энергии после столкновения (тепловая энергия Очевидно, формула представляет тот частный случай уравнения (17), когда в процессе играют роль только кинетическая и тепловая энергии.

Итак, мы видим, что с релятивистской точки зрения закон сохранения массы представляет собой не более чем закон сохранения энергии. Таким образом, оказывается правомерным утверждение о том, что количество энергии тела равно массе тела, умноженной на

В общем случае кинетическая энергия определяется как разность между энергией движущегося тела и энергией того же тела в состоянии покоя. Таким образом, общее определение есть

Оно сводится к классическому определению

при малых величинах При новом определении уравнения справедливы для скоростей, которые уже не малы по сравнению с .

Здесь проливается свет на существенное различие между классической и релятивистской механиками. В классической механике мы должны были различать процессы, при которых механическая энергия сохраняется, и процессы, при которых она не сохраняется, а переходит в тепловую или другие формы энергии. Обращаясь, например, к нашему неупругому столкновению, мы видим, что половина кинетической энергии (в системе S) переходит в теплоту. Таким образом, механическая энергия не сохраняется.

В релятивистской же механике мы имеем закон сохранения энергии [см. уравнение (в), стр. 264], который учитывает все виды энергии:

Это уравнение сводится в классическом (предельном) случае к обычному уравнению для этой задачи: получаем

Но, как мы знаем,

где

Отсюда заключаем, что

Последним членом следует пренебречь в классическом приближении так как он представляет релятивистскую поправку к кинетической энергии; он меньше двух других членов на множитель и им можно пренебречь при малых скоростях и им. Следовательно, иаше уравнение сводится к

Слева мы имеем кинетическую энергию системы до столкновения. Справа характеризует ту часть энергии которая перешла в тепло в результате столкновения. Второй член представляет оставшуюся кинетическую энергию которой и обладают два соединившихся шара. Поскольку, как мы знаем, в классической механике ясно, что

Это — классические формулы.

Выведем теперь изменение или под действием импульса силы, длящегося короткое время Пусть величины характеризуют соответственно скорость в направлении оси кинетическую энергию и полную энергию рассматриваемого тела до того, как начала действовать сила; пусть представляют соответственно скорость, кинетическую и полную энергии того же тела после действия импульса силы. Тогда с помощью (84) мы имеем

Из предыдущего параграфа [см. уравнение (д)] мы знаем, что

где малая добавочная скорость в направлении оси возникающая в результате действия силы (фиг. 128). Итак,

Последнее из этих равенств следует из формулы (80). Далее, величина

представляет собой скорость изменения энергии; вводя компоненту ускорения

мы имеем

Соответствующая формула в классической механике имела бы вид

Величина, стоящая справа в формуле (86), представляет собой взятое с отрицательным знаком изменение потенциальной энергии Действительно, в течение достаточно малого интервала времени силу можно считать приблизительно постоянной и оперировать с нею, как если бы мы имели дело с гравитационной силой. Мы показали [гл. II, § 14, стр. 53, формула (15)], что соответствующая потенциальная энергия была бы равна здесь, однако, мы считаем направление противоположным выбранному в случае гравитации, так что Если — положения тела до и после действия силы, то изменение потенциальной энергии во времени приобретает вид

Учитывая эти соотношения и уравнение (86), мы получаем в результате

т.е. оказывается постоянной во времени, как и в классической механике.

Уравнение Эйнштейна (83)

утверждающее, что энергия пропорциональна инертной массе, и часто называемое законом инерции энергии, представляет собой, возможно, самый важный результат теории относительности. Мы приведем другое простое доказательство его, принадлежащее самому Эйнштейну, — доказательство, не требующее использования математического формализма теории относительности.

Оно опирается на тот факт, что световое излучение оказывает давление. Из максвелловских уравнений поля, дополненных теоремой Пойнтинга (1884 г.), следует, что световая волна, падающая на поглощающую поверхность, оказывает на эту поверхность давление. Установлено, что импульс, передаваемый короткой вспышкой света поглощающему телу, равен где энергия световой вспышки. Этот факт — доказательство его нам предстоит проделать в следующем параграфе (§ 9) — был подтвержден экспериментально Лебедевым (1890 г.) и позднее, с более высокой точностью, Никольсом и Холлом (1901 г.) и другими. Точно такое же давление испытывает тело, излучающее свет, подобно тому как ружье испытывает отдачу при выстреле.

Итак, представим себе длинную трубку, на концах которой расположены два тела совершенно одинаковые и сделаннные из одного и того же материала, т. е. два тела, которые, согласно обычным представлениям, имеют одну и ту же массу (фиг. 130). Но пусть тело А имеет избыток энергии по сравнению с телом В, скажем в форме теплоты, и пусть существует некое устройство (скажем, вогнутое зеркало или что-нибудь в этом духе), с помощью которого энергию можно направить в форме излучения к телу В. Пусть пространственная протяженность такой световой вспышки будет мала по сравнению с длиной трубки (фиг. 130).

Тогда тело А испытывает отдачу, равную Тем самым и вся трубка, общую массу которой мы будем считать равной приобретает скорость направленную в противоположную от световой вспышки сторону и определяемую соотношением между импульсами

Движение трубки продолжается до того момента, когда вспышка достигает тела В, которое поглощает ее. При этом B

испытывает эквивалентный толчок по направлению вперед и тем самым затормаживает всю систему до состояния покоя. Смещение, которое претерпевает система в течение периода времени пока свет проходит расстояние между телами равно где нужно взять из предыдущего уравнения; итак,

Но время путешествия определяется (за исключением малой ошибки высшего порядка) равенством Отсюда смещение равно

Теперь тела можно поменять местами (это можно осуществить без внешних воздействий).

Фиг. 130. Трубка с двумя одинаковыми телами на концах. Тело А несет энергию Эта энергия посылается в виде световой вспышки со скоростью с к телу отдача вызывает движение трубки со скоростью Когда энергия поглощается телом В, трубка сиова приходит в состояние покоя, но уже в смещенном на расстояние положении.

Предположим, что в трубке находятся два человека, которые переставляют тела а затем возвращаются на свои прежние места. Согласно обычной механике, трубка как целое не должна претерпевать смещения, так как изменение ее положения может быть осуществлено только с помощью внешних сил.

После такого обмена внутри трубки все оставалось бы так же, как в начале опыта: энергия оставалась бы в том месте, где она была раньше, и распределение массы оставалось бы в точности прежним. Но трубка как целое сместилась на расстояние относительно ее исходного положения в результате действия светового импульса. Это, конечно, противоречит всем

фундаментальным канонам механики. Повторяя процесс, мы могли бы произвести любое произвольное изменение положения системы, не прилагая внешних сил. Но это — невозможная вещь. Единственный выход из создавшегося затруднения — принять предположение, что когда тела меняются местами, они механически не эквивалентны, именно масса тела В превышает массу тела А на величину благодаря наличию избыточной энергии . В этом случае при обмене симметрия не сохраняется и масса перемещается слева направо на расстояние . В то же время трубка как целое смещается на расстояние в противоположном направлении. Это расстояние определяется тем обстоятельством, что процесс происходит без вмешательства внешних воздействий, вследствие чего полный импульс, состоящий из импульса трубки

и импульса переносимой массы

равен нулю. Тогда

откуда следует, что

Но это смещение должно точно уравновешивать смещение, вызываемое световым импульсом; следовательно, должно выполняться равенство

Оно позволяет вычислить получаем

Это и есть величина инерциальной массы, которую следует приписать энергии для того, чтобы оставался справедливым принцип механики, утверждающий, что без вмешательства внешних сил невозможно изменение положения системы.

Поскольку любую форму энергии в конце концов возможно превратить в излучение посредством того или иного процесса, этот закон должен быть универсально справедлив. Таким образом, мы достигли огромного единения наших знаний о материальном мире: материя в наиболее широком смысле этого слова (в том числе свет и другие формы чистой энергии на языке классической физики) имеет два фундаментальных качества: инерцию, измеряемую ее массой, и способность совершать

работу, измеряемую ее энергией. Эти два качества строго пропорциональны друг другу. В каком бы месте электрическое и магнитное поля или другие явления ни вызывали интенсивного накопления энергии, эти накопления сопровождаются инерцией. Электроны и атомы являют собой пример гигантских скоплений энергии.

Мы можем коснуться лишь немногих из многочисленных важных следствий этой теоремы.

Относительно массы электронов формула (69) (стр. 206) утверждает, что в случае массы покоя

электростатическая энергия не может быть полной энергией покоящегося электрона. Должна существовать еще некоторая энергия V, а так что

Отсюда

Таким образом, полная энергия — на три четверти электростатическая и на одну четверть — энергия другого вида. Эта часть энергии должна быть обусловлена сжимающими силами, которые связывают электрон воедино, уравновешивая электростатическое отталкивание; существование таких связывающих сил необходимо предположить ввиду устойчивости электрона.

Обратимся теперь к другим примерам, взятым из новейших исследований. Эти исследования показали, что существуют три вида -мезонов (см. стр. 253): мезоны первого вида заряжены положительно, мезоны второго — отрицательно (причем те и другие несут такое же количество заряда, как и электрон), а мезоны третьего вида электрически нейтральны и -мезоны). Точные измерения масс этих частиц обнаружили, что массы и -мезонов равны и составляют 273 массы электрона, тогда как масса -мезонов лишь в 264 раза превышает массу электрона. Как и в случае электрона, мы можем истолковать эту разность масс присутствием электрического заряда. Заряд создает электрическое поле, несущее определенную энергию это происходит в случае и положительно и отрицательно заряженных мезонов. Следовательно, заряженные частицы должны быть на величину

тяжелее, чем нейтральные частицы Разность масс масса электрона) свидетельствует о том, что в заряженном мезоне сконцентрировано гораздо больше энергии, чем в электроне. В гл. V, § 13 («Электромагнитная масса») мы установили формулу, определяющую запас энергии заряда распределенного на поверхности сферы радиуса а, Именно

Если применить эту же модель к заряженному мезону, то

где а — «радиус» зарядового распределения мезона. Таким образом, этот радиус можно подсчитать: находим см. Величина эта гораздо меньше радиуса электрона, особенно если учесть большую разность масс.

Как мы уже сказали выше, атом состоит из малого положительно заряженного ядра (диаметр порядка см) и окружающего облака электронов, которое в точности нейтрализует заряд ядра. Ядро состоит из протонов и нейтронов. Протоны несут положительный заряд той же величины, что и заряд электрона, а их масса превышает массу электрона примерно в 2000 раз. Протон — это ядро самого легкого атома (атома водорода). Водородный атом состоит из одного протона, окружение которого составляет один электрон. Нейтрон имеет массу, примерно такую же, как протон, но, как видно из самого названия, не имеет заряда. Атом можно охарактеризовать двумя величинами: его массой, которая в основном совпадает с массой ядра (вкладом электронов можно пренебречь), и зарядом, который определяется числом протонов (или окружающих электронов). Химическое поведение атома определяется окружающим облаком электронов, протяженность которого от ядра составляет примерно см. Поэтому химические свойства атома определяются только числом протонов или электронов. Существуют ядра, в которых количества протонов одинаковы, а количества нейтронов — различны. Соответствующие атомы проявляют одни и те же химические свойства, но имеют различные массы. Такие атомы называются изотопами. Природные химические элементы представляют собой обычно смесь нескольких изотопов.

Простейшим примером этого может служить водород. Он имеет изотоп, называемый тяжелым водородом, или дейтерием, ядро которого — дейтрон — состоит из протона и нейтрона.

Сложив их массы: масса протона масса нейтрона мы получаем

Но измеряемая в лабораториях масса дейтрона составляет только

Согласно формуле (84), разность масс

(составляющая около четырех электронных масс) характеризует количество энергии, которое необходимо сообщить дейтрону для того, чтобы расчленить его на протон и нейтрон. Эксперимент точно подтверждает этот вывод. Такое же количество энергии высвобождается, когда нейтрон и протон соединяются, превращаясь в дейтрон (синтез ядер).

Следующий пример такого рода — явление огромной технической важности, используемое в атомных реакторах. В реакторах теплота создается следующим процессом: ядро изотопа урана (это ядро состоит из 235 частиц — 92 протонов и 143 нейтронов) захватывает нейтрон, становясь неустойчивым, и затем расщепляется на два меньших ядра и несколько нейтронов. Нейтроны захватываются другими ядрами урана, что также вызывает их расщепление. Таким путем возникает и продолжается ядерная реакция. Продукты распада каждого ядра разлетаются с большими кинетическими энергиями и затормаживаются в окружающем материале, нагревая его. Сложив массы продуктов распада, мы обнаружим, что их сумма меньше массы ядра Разность масс составляет примерно 400 электронных масс. Энергия этой разности масс и представляет собой кинетическую энергию осколков ядра урана. Эта энергия превращается в тепловую.

Для того чтобы проиллюстрировать силу этого эффекта, можно сравнить теплоту, создаваемую распадом с теплотой, получаемой при сжигании угля. Деление одного грамма дает столько же энергии, сколько угля.

Эти два примера показывают, что теплоту можно получать с помощью двух процессов: посредством деления больших ядер и посредством образования легких ядер из составляющих их частиц (синтез ядер). Второй из этих процессов и служит источником тепла в звездах.

Хорошо известно, что процесс деления используется в атомной бомбе, а синтез ядер — в водородной бомбе. Но мы не будем здесь рассматривать мрачные аспекты технического прогресса, связанные с эйнштейновской формулой.