§ 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МЕХАНИКИ ЭЙНШТЕЙНА

Прежде чем обратиться к обсуждению содержания полученных формул, мы должны интерпретировать взаимную связь между двумя инерциальными системами, описываемую этими формулами, с помощью геометрического подхода к описанию

четырехмерного «мира» по Минковскому. При этом можно не обращать внимания на координаты остающиеся неизменными, и ограничиться рассмотрением плоскости Все кинематические законы при этом будут иметь форму геометрических соотношений в плоскости Однако мы настоятельно рекомендуем читателю попрактиковаться в переводе соотношений, которые мы получим в геометрической форме, на язык обычной кинематики. Так, мировую линию следует понимать как изображение движения точки, пересечение двух мировых линий — как столкновение двух движущихся точек и т. д. Для того чтобы зрительно представить себе процессы, изображенные на наших чертежах, нужно взять линейку и двигать ее вдоль оси параллельно оси с постоянной скоростью, сосредоточив внимание на пересечениях ребра линейки с мировыми линиями. Эти точки пересечения будут двигаться вперед и назад по ребру линейки и, таким образом, могут дать представление о движении в пространстве.

Как мы видели, всякая инерциальная система 5 (гл. VI, § 1, стр. 226) может быть представлена косоугольной системой координатных осей в плоскости Тот факт, что одна из них — прямоугольная, следует истолковывать как случайное обстоятельство, не играющее особой роли в наших рассуждениях, как явственно следует из второго приведенного нами доказательства преобразования Лоренца.

Каждую точку в пространстве можно представлять себе в виде источника световых волн, распространяющихся сферически с постоянной скоростью во всех направлениях. Из этих сферических волн лишь два световых сигнала, движущихся вдоль направления изображены на наших фигурах. Один из них движется влево, другой — вправо. Таким образом, они соответствуют в плоскости двум пересекающимся прямым линиям, которые, разумеется, совершенно не зависят от выбора системы отсчета, поскольку они соединяют друг с другом события (мировые точки), а именно те точки в плоскости в которые последовательно попадает световой сигнал.

Изобразим эти световые линии для мировой точки О, которую мы принимаем за начало всех рассматриваемых систем координат эти световые линии мы изобразим в виде взаимно перпендикулярных прямых. Выберем их в качестве осей некоторой системы координат (фиг. 115).

Мы приближаемся к самым корням теории Эйнштейна. Система единственным образом определена и фиксирована в «мире»; ее оси представляют собой не линии в пространстве, а образуются мировыми точками, именно теми точками пространства, которых в данный момент времени достигает световой сигнал, излучаемый начала сцстемы. Эта инвариантная или

«абсолютная» система координат является, таким образом, чрезвычайно абстрактным представлением. Мы должны освоиться с тем, что подобные абстракции в современной теории заменяют конкретное понятие эфира. Их сила заключена в том, что они не содержат ничего выходящего за рамки понятий, необходимых для истолкования результатов опыта.

Калибровочные кривые, отсекающие единицы длины и времени на осях произвольных инерциальных систем должны быть жестко связаны с построенной нами абсолютной системой отсчета

Фиг. 115. Инвариантные линии соответствующие световым сигналам, проходящим через О. Сплошные жирные линии представляют сигналы, исходящие из пунктирные жирные линии — сигналы, сходящиеся к О.

Эти калибровочные кривые должны описываться инвариантным законом; наша задача состоит в том, чтобы установить его.

Сами по себе световые линии инвариантны. Ось описывается в системе отсчета 5 уравнением а в другой системе отсчета уравнением поскольку именно эти формулы выражают тот факт, что скорость света имеет в обеих системах одно и то же значение. Выразим теперь разность которая равна нулю для всех точек оси У, через координаты с помощью преобразования Лоренца (70). Имеем

Здесь мы ввели обычное сокращенное обозначение

Отсюда видно, что когда то и

Ось определяется уравнением или Выполняя соответствующее преобразование обратно от мы должны лишь заменить с на —с, а на (причем остается неизменным); мы получаем

Из этих формул без труда выводится инвариантное выражение: действительно, следовательно, если перемножить два уравнения, постоянный множитель оказывается равным 1, и мы получим

или

это означает, что выражение

представляет собой инвариант. Ввиду его важности мы назовем его фундаментальным инвариантом. Видно, что имеет размерность

Фиг. 116. Калибровочные кривые

Прежде всего он служит для определения единиц длины и времени в произвольной системе отсчета Эти единицы в других системах 5 отложены на линейках и часах идентичной физической величины и конструкции. Хотя они имеют размерности длины и времени, в дальнейшем мы будем использовать просто символ 1 для длин и площадей, поскольку фактический выбор физических единиц не играет принципиальной роли.

Что представляют собой мировые точки, в которых имеет значение +1 или —1? Мы имеем в мировой точке (фиг. 116). Но это конечная точка отрезка единичной длины, другой конец которого совпадает с началом координат в момент времени Поскольку это одинаково верно для всех систем отсчета нетрудно догадаться, что мировые точки,

в которых определяют единицу длины, покоящуюся в произвольной системе отсчета, что мы сейчас и докажем самым подробным образом.

Аналогично, для мировых точек, в которых здесь малый интервал времени, затрачиваемый светом на прохождение единичного расстояния. Следовательно, эта мировая точка соответственно связана с единицей времени часов, которые покоятся в системе

Далее, нетрудно построить точки или геометрически, исходя из инвариантной системы координат Ось X образуется точками, для которых . С другой стороны, те же самые мировые точки характеризуются в произвольной инерциальной системе уравнением Следовательно, У должно быть пропорционально Выбирая единицу подходящим образом, можно положить

Рассматривая аналогичным образом ось X, мы находим, что можно положить

Следовательно,

Итак, представляет собой площадь прямоугольника со сторонами Мировые точки, для которых есть свободные углы прямоугольников единичной площади, образованных координатами Эти прямоугольники изображены на нашей диаграмме (фиг. 116). Среди них — квадрат с единичной стороной; остальные прямоугольники выше — пропорционально тому, насколько они уже, или ниже — пропорционально тому, насколько они шире, в соответствии с условием (фиг. 116). Точки с координатами для которых очевидно, образуют кривую, ветви которой все ближе и ближе подходят к осям х и у. Эту кривую называют равносторонней гиперболой. Когда оба отрицательны, произведение положительно. Следовательно, построение дает нам вторую ветвь — зеркальное отображение первой — в противоположном квадранте нашей системы координат.

При справедливо аналогичное построение в остающихся двух квадрантах, где координаты имеют противоположные знаки.

Четыре построенные нами гиперболы дают теперь калибровочные кривые, с помощью которых можно установить единицы длины и времени во всех системах отсчета.

Пусть ось пересекает ветви гиперболы в точках а ось пересекает ветви гиперболы в точках (фиг. 117).

Проведем линию, параллельную оси через точку Мы утверждаем, что она не пересекает правую ветвь калибровочной кривой ни в какой другой точке и лишь касается ее в точке Другими словами, мы утверждаем, что ни одна точка этой ветви калибровочной кривой не лежит левее нашей прямой, но вся ветвь оказывается справа от нее, так что все ее точки имеют координаты превышающие расстояние

Фиг. 117. Построение оси по известной оси или наоборот.

Это действительно так, ибо для каждой точки калибровочной кривой имеем Таким образом, для точки калибровочной кривой причем эта точка лежит в то же самое время на оси Для любой другой точки на калибровочной кривой больше 1 на положительную величину Соответственно и для любой точки правой ветви калибровочной кривой больше 1.

Точно так же мы находим, что параллель к оси проходящая через точку касается левой ветви гиперболы в точке и что параллели к оси проведенные через точки касаются ветвей гиперболы в точках Отсюда очевидно, что расстояние Действительно, точка лежит на калибровочной кривой определяет положение оси следовательно, таким образом, представляет величину отрезка

Две параллели к оси проходящие через точки пересекаются со световыми линиями в точках Но параллели к оси проходящие через точки также проходят через эти точки, ибо для точки например, мы имеем так как она лежит на оси потому что она лежит на проходящей через точку параллели к оси Отсюда следует, что т. е. что лежит на параллели к оси проходящей через точку

Итак, ясно, что наше построение оси согласуется с приведенным выше (стр. 225) при определении одновременных мировых точек. В самом деле, отрезок на оси и две параллели

к этой оси, и представляют собой мировые линии трех точек, одна из которых О лежит посредине между двумя другими Но если из точки О отправить в обоих направлениях световой сигнал, то его траектория будет представляться световыми линиями и О У, которые пересекают две параллельные мировые линии в точках Следовательно, эти мировые точки одновременны, а линия, связывающая их, параллельна оси в точности так, как показывает наше новое построение.

Сведем результат наших рассуждений в следующем коротком утверждении.

Оси системы отсчета расположены по отношению друг к другу таким образом, что каждая из них параллельна прямой линии, которая касается калибровочной кривой в точке пересечения с другими осями.

Единица длины дается расстоянием Единица времени определяется расстоянием которое, по сути дела, также представляет собой отрезок длины на нашей шкале

Каждая прямая мировая линия, проходящая через начало координат и пересекающаяся с ветвью калибровочной гиперболы может быть принята за ось Ось тогда задается как параллель к прямой, касательной к этой гиперболе в точке Аналогичным образом за ось можно выбрать произвольную мировую линию, пересекающую ветви калибровочных кривых. Соответствующая ось тогда определяется единственным образом с помощью построения, аналогичного проделанному выше.

Эти правила занимают место законов классической кинематики. В классических законах ось была одной и той же для всех инерциальных систем, а единица длины была фиксирована на ней; единица времени была равна отрезку, отсекаемому определенной прямой линией, параллельной оси на оси которая в общем случае была наклонной к оси (см. фиг. 41, стр. 79).

Но как случается, что два построения, по всей видимости столь различные, оказываются едва ли вообще различимыми на практике?

Это объясняется колоссально большой величиной скорости света с по сравнению с обычными скоростями материальных тел во Вселенной. На наших рисунках единица, скажем 1 см, в шкале соответствует

Если бы мы захотели представить 1 сек и 1 см на чертеже в виде отрезков одной и той же длины, потребовалось бы, очевидно,

сжать диаграмму в направлении так, чтобы все расстояния, параллельные оси сократились в отношении Будь с равно лишь 10 см/сек, такой чертеж выглядел бы как-то вроде изображенного на фиг. 118. Две световые линии образовывали бы очень малый угол, ограничивающий пределы", в которых изменяются направления осей с другой стороны, угловое пространство для осей стало бы очень широким, а калибровочная кривая для очень плоской. Таким образом, для систем, относительные скорости которых существенно малы по сравнению со скоростью света с, единицы времени отличаются друг от друга почти неощутимо.

Фиг. 118. Калибровочные кривые в системе координат в предположении, что скорость с равна 10 см/сек. Единица времени (1 сек) и единица длины представляются равными по величине отрезками.

Чем больше величина с, тем более заметным становится количественное различие между областями свободного изменения направлений осей Для действительно существующей в природе величины с см/сек) рисунок вообще не удалось бы изобразить на бумаге: обе световые линии практически совпали бы и направление которое всегда заключено между ними, оказалось бы, таким образом, неизменно закрепленным. Именно это и предполагает обычная кинематика. Мы лриходим снова к фиг. 41 (стр. 79).

Таким образом, мы видим, что кинематика Галилея представляет собой частный случай или, скорее, предельный случай кинематики Эйнштейна, именно тот, когда скорость света ста новится бесконечно большой.