§ 6. ЭФИР КАК УПРУГОЕ ТВЕРДОЕ ТЕЛО

После того как поперечность световых волн была обнаружена и подтверждена многочисленными экспериментами, в уме Френеля родилась идея будущей динамической теории света, которая должна была быть построена в полном соответствии с принципами механики и характером оптических явлений на основе свойств эфира и свойств действующих на него сил. Эфир с необходимостью представлялся упругим твердым телом, поскольку лишь в таких веществах могут существовать поперечные механические волны. Но во времена Френеля математическая теория упругости твердых тел еще была неизвестна. Френель, возможно, с самого начала считал, что аналогию между "эфиром и материальными веществами не удастся провести особенно далеко. Так или иначе, он предпочел исследовать законы распространения света экспериментально и истолковывать их на основе идеи поперечных волн. Прежде всего следовало ожидать, что оптические явления в кристаллах прольют свет на поведение эфира. Работу Френеля в этой области следует отнести к самым замечательным достижениям систематического физического исследования как в экспериментальном, так и в теоретическом смысле. Однако не будем слишком углубляться в детали; мы должны иметь в виду наш основной вопрос: что представляет собой эфир?

Результаты Френеля показали, что идея об аналогии между природой световых и упругих волн верна. Это дало мощный импульс исследованиям в теории упругости, начало которым уже положили Навье (1821 г.) и Коши (1822 г.). На этой области сосредоточил свое внимание и Пуассон (1828 г.). Затем Коши прямо применил законы упругих волн к оптике (1829 г.). Мы попробуем дать некоторое представление о содержании этой теории эфира.

Трудность здесь состоит в том, что правильные и адекватные средства описания изменений, происходящих в сплошных деформируемых телах, дает только теория дифференциальных уравнений. Поскольку мы не ожидаем знания этой теории, лучшее, что можно сделать, — это проиллюстрировать ее на простом примере, а затем указать, что в общем случае получается аналогичный результат, хотя и более сложного вида.

При этом не знающий математики читатель, по-видимому, сможет получить приближенное представление об обсуждаемом вопросе. Это, конечно, не даст ему полного представления о мощности и эффективности физических моделей и математических методов. И хотя удовлетворить нематематика почти невозможно, мы не можем отказаться от попытки проиллюстрировать механику континуума, поскольку все последующие теории, не только теория упругого эфира, но и электродинамика во всех своих ответвлениях и, самое главное, теория гравитации Эйнштейна, основаны на этих концепциях.

Очень тонкая натянутая струна представляет собой одномерное упругое тело. Мы описываем ее, используя теорию упругости. Чтобы сохранить связь с обычной механикой, рассматривающей лишь отдельные твердые тела, мы будем предполагать, что струна не непрерывна, а имеет атомную структуру, как это и есть в действительности.

Фиг. 66. Цепочка частиц с массой разделенных одинаковыми расстояниями а.

Пусть она состоит из ряда одинаковых малых тел (частиц), выстроившихся в линию на малых расстояниях друг от друга (фиг. 66). Частицы должны обладать инерциальной массой, и каждая должна создавать силы, действующие на двух ее соседей: эти силы должны быть такими, чтобы противодействовать как увеличению, так и уменьшению расстояния между соседними частицами. Чтобы представить себе реальную картину таких сил, нужно лишь предположить, что соседние частицы скреплены маленькими спиральными пружинами. Такие пружины противодействуют как сжатию, так и растяжению. Однако это представление не следует считать лишь удобным приемом. Силы такого рода действительно представляют собой одно из самых существенных явлений упругости.

Далее, если первая частица немного смещается в продольном или поперечном направлении, то она немедленно действует на вторую частицу, которая в свою очередь передает действие следующей, и т. д. Возмущение равновесия первой частицы, таким образом, передается вдоль всего ряда, подобно одиночной волне, и наконец достигает последней частицы. Однако это не происходит мгновенно. На каждой частице теряется небольшой промежуток времени, так как благодаря своей инерции частицы реагируют на импульс не мгновенно. В самом деле, сила вызывает не мгновенное смещение, а возникновение ускорения, т. е. изменение скорости в течение малого промежутка времени;

изменение же скорости в свою очередь требует некоторого времени для. образования смещения. И лишь когда это смещение достигает своей полной величины, сила начинает в полной мере действовать на следующую частицу. Аналогичным образом процесс повторяется на каждой частице с потерей времени, зависящей от массы частиц. Если, бы сила, вызванная смещением первой частицы, прямо действовала на последнюю частицу цепочки, то действие носило бы мгновенный характер. В ньютоновской теории гравитации действительно предполагается, что это имеет место при взаимном притяжении небесных тел.

Фиг. 67. Частицы действуют на частицу с силами Действие этих двух сил ускоряет точку

Сила, с которой одно из них действует на другое, всегда направлена в точку, занимаемую в данное мгновение этим вторым телом, и определяется расстоянием между точками расположения тел в этот момент времени. Ньютоновскую гравитацию называют действием на расстоянии (дальнодействием), так как она осуществляется между удаленными друг от друга точками, хотя и не существует среды, передающей это действие.

В противовес этому наша цепочка равноудаленных точек дает простейшую модель близкодействия, или контактного взаимодействия. Именно, воздействие первой точки на последнюю передается через разделяющие их массы и, следовательно, происходит не мгновенно, а с некоторой потерей времени. Силу, с которой частица действует на своих соседей, все еще представляют как действие на расстоянии, хотя и очень малом. Однако можно предположить, что эти расстояния между частицами становятся все меньше и меньше, а число частиц — все больше и больше; общая же масса при этом остается той же самой. При этом цепочка частиц переходит в то, что мы называем континуумом. Здесь силы действуют между бесконечно близкими частицами, а законы движения приобретают форму дифференциальных уравнений.

Эти уравнения математически выражают физическое понятие близкодействия.

Проследим этот процесс предельного перехода законов движения более подробно в случае нашей цепочки частиц. Рассмотрим чисто поперечные смещения (фиг. 67). В теории упругости предполагается, что частица притягивается соседней с ней частицей с силой, пропорциональной величине поперечного смещения относительно Если обозначить через и превышение поперечного смещения точки над смещением точки а через а — начальное расстояние между частицами, расположенными вдоль прямой линии, то возвращающая сила пропорциональна отношению которое называют деформацией. Положим

где постоянная, которая, очевидно, равна силе, если деформация равна 1. Величина, обозначаемая символом называется модулем упругости.

Далее, та же самая частица испытывает, действие силы

со стороны своего второго соседа За исключением того частного случая, когда отклонение частицы в точности максимально, частица будет смещена сильнее, чем и поэтому будет стремиться не возвратить последнюю к положению равновесия, а, наоборот, увеличить ее смещение. Таким образом, К будет действовать против К.

Результирующая сила, действующая на частицу равна, следовательно, разности этих сил:

Эта сила определяет движение частицы согласно фундаментальному закону динамики: масса, умноженная на ускорение, равна силе

Предположим теперь, что число частиц все более и более возрастает, а их массы с той же скоростью уменьшаются так, что масса единицы длины цепочки сохраняет одно и то же значение. Пусть на единице длины укладывается частиц, так что т. е. Тогда масса единицы длины равна Эту линейную величину называют плотностью массы и обозначают Разделив вышеприведенное уравнение на а,

мы получаем

Таким образом, мы получили здесь выражения, совершенно аналогичные тем, которые входят в определение понятий скорости и ускорения. В самом деле, точно так же, как скорость была отношением длины пути и к времени т. е. где время было чрезвычайно мало, так и здесь мы обнаруживаем, что деформация представляет собой отношение относительного смещения к начальному расстоянию, причем последнее считается предельно малым. Так же как ускорение раньше определялось отношением изменения скорости к времени

так и здесь мы получаем отношение

которое совершенно аналогичным образом дает меру изменения деформации от точки к точке.

В точности так же, как и скорость и ускорение сохраняли свой смысл и конечное значение для произвольно малых интервалов времени, так и величины сохраняют смысл и конечные значения безотносительно к тому, насколько малыми становятся расстояния а. Все эти величины представляют собой дифференциальные коэффициенты дифференциальные коэффициенты первого порядка,

— дифференциальные коэффициенты второго порядка).

Итак, уравнение движения имеет вид дифференциального уравнения второго порядка

относительно изменения времени, а также относительно изменения положения события. Все законы близкодействия в теоретической физике описываются уравнениями такого типа. Рассматривая, например, упругие тела, протяженные во всех направлениях, мы получаем в формулах два подобным же образом построенных члена для двух других пространственных измерений. Более того, совершенно аналогичный вид имеют законы теории электрических и магнитных явлений. Наконец, теория гравитации Эйнштейна также построена в этой форме.

Следует также заметить, что законы действия на расстоянии можно записать в форме, аналогичной формулам близкодействия. Например, если отбросить в уравнении (36), т. е. если предположить, что плотность массы предельно мала, то смещение первой частицы в тот же момент вызовет силу, действующую на последнюю частицу, так как инерция промежуточных частиц окажется неучтенной. При этом мы действительно получаем передачу силы с бесконечно большой скоростью — в полном смысле слова действие на расстоянии. Тем не менее закон записан в форме дифференциального уравнения — как близкодействие. Подобные законы псевдоблизкодействия встречаются в теории электричества и магнетизма, где они, по сути дела, подготовили в свое время почву для истинных законов близкодействия. Основной характерной особенностью последних является инерциальный член, обусловливающий конечную скорость передачи возмущений равновесия, т. е. возникновение волн.

В формулу (36) входят две величины, определяющие физические свойства вещества: масса единицы объема, или плотность, и константа упругости Записав эту формулу в виде

мы видим, что для каждой данной деформации, т. е. для заданной ускорение увеличивается прямо пропорционально возрастанию и уменьшению Здесь играет роль меры упругой жесткости вещества, меры инерциального сопротивления. Отсюда ясно, что увеличение жесткости ускоряет движение, тогда как увеличение инерции замедляет его. Соответственно этому скорость волны с зависит только от отношения Действительно, чем быстрее распространяется волна, тем больше становится ускорение отдельных частиц вещества. Точный закон этой взаимосвязи можно получить, рассуждая следующим образом.

Каждая отдельная точечная масса выполняет простое периодическое движение типа рассмотренного выше (гл. II, § 11, стр. 44). Тогда мы показали, что ускорение связано с отклонением формулой (11):

где число колебаний в 1 сек. Заменив периодом колебаний согласно формуле (34), мы получим

Те же самые соображения, которые мы только что применили к времени, можно применить и к пространству; они должны вести к аналогичным соотношениям. Необходимо просто

заменить ускорение (дифференциальный коэффициент второго порядка относительно времени) на величину (дифференциальный коэффициент второго порядка относительно пространства), а период колебаний («период времени») на длину волны X («пространственный период»). Таким образом мы приходим к формуле

Составляя теперь отношение с помощью двух предыдущих выражений и сокращая на множитель мы получаем

Далее, с одной стороны, согласно формуле (35),

с другой стороны, согласно (36),

Отсюда следует, что

Это соотношение выполняется для всех тел независимо от того, в каком состоянии они находятся — газообразном, жидком или твердом. Различие состоит лишь в следующем.

В жидкостях и газах не существует упругого сопротивления поперечным смещениям частиц, но лишь изменению объема, т. е. сжатию или разрежению. Поэтому в таких веществах могут распространяться только продольные волны, причем их скорости определяются по формуле (37) в зависимости от модуля упругости который играет решающую роль в такого рода изменениях объема.

С другой стороны, в твердых телах благодаря упругой жесткости, которая противодействует продольным смещениям, в каждом направлении могут распространяться три волны — одна продольная и две поперечные — с различными скоростями. Это обусловлено тем фактом, что сжатия и разрежения в продольной волне зависят от модуля упругости а его величина не совпадает с величиной модуля, соответствующего поперечным смещениям одного слоя тела относительно другого при поперечных колебаниях.

Более того, в некристаллических телах направление колебаний для поперечных волн можно выбирать произвольно; все такие волны распространяются с одной и той же скоростью продольные — с другой скоростью (фиг. 68).

Все эти утверждения доказаны экспериментально в опытах с акустическими волнами в твердых телах.

Вернемся теперь к исходной точке наших рассуждений — к упругой теории света, суть которой заключается в том, что эфир — носитель световых колебаний — рассматривается как твердое упругое тело. Световые волны при этом представляют себе как звуковые волны в этой гипотетической среде.

Итак, какие свойства следует приписать этому упругому эфиру?

Фиг. 68. Продольные и поперечные колебания. В твердых телах атомы могут колебаться в направлении распространения волны и перпендикулярно к нему.

Прежде всего невероятная скорость распространения с требует, чтобы либо константа упругости была очень велика, либо плотность очень мала, либо эти два условия выполнялись одновременно. Но, поскольку скорость света в разных веществах различна, внутри материальных тел эфир либо должен быть более конденсированным, либо должна изменяться его упругость, либо опять-таки должно иметь место и то и другое. Мы видим, что можно идти двумя путями. Число различных возможностей еще более возрастает вследствие того факта, что, как мы видели раньше (гл. IV, § 5), эксперимент не дает ответа на вопрос, параллельны или перпендикулярны плоскости поляризации (плоскости падения на поляризующее зеркало) колебания поляризованного света.

Благодаря неопределенной природе задачи мы находим в истории большое число теорий упругого эфира. Мы уже упоминали имена основоположников этих теорий — Навье, Коши, Пуассона; добавим к ним имена Грина и Неймана.

Сейчас мы поражаемся колоссальности того труда и мысли, которые были затрачены на решение проблемы истолкования оптических явлений в терминах упругого эфира, имеющего те же свойства, которые характерны для материальных твердых упругих тел. Ведь мы с тех пор узнали, что природа твердых упругих тел отнюдь не проста; они не непрерывны, но имеют в действительности атомистическую структуру. Физика эфира оказалась гораздо проще и понятнее, чем физика материи.

Одно из очевидных возражений против гипотезы упругого эфира заключается в необходимости приписать ему огромную жесткость, для того чтобы объяснить высокую скорость распространения волн. Такое вещество с необходимостью оказывало бы сопротивление движению небесных тел, в частности движению планет. Астрономия никогда не обнаруживала никаких отклонений от ньютоновских законов движения, которые указывали бы на существование такого сопротивления. Стоке (1845 г.) пытался обойти это возражение, отмечая, что понятие твердости тела в известном смысле относительно. Кусок вара от удара молотком сразу рассыпается (воск и стекло ведут себя так же). Но если на него положить какой-нибудь груз, то он постепенно, хотя и очень медленно, тонет в варе, который в этом случае ведет себя как вязкая жидкость. Далее, силы, участвующие в световых колебаниях, изменяются во времени чрезвычайно быстро (600 миллиардов периодов в 1 сек) по сравнению с относительно медленными процессами, происходящими при планетарных движениях. Отношение скоростей соответствующих процессов в световой волне и при движении планет несравненно выше, чем такое отношение для удара молотка и статического давления груза. Таким образом, эфир мог бы вести себя в случае света как упругое твердое тело и все-таки свободно допускать движение планет.

Однако даже если бы нам удалось убедить себя принять идею о том, что астрономическое пространство наполнено некоторого сорта варом, серьезные затруднения возникли бы из самих законов распространения света. Прежде всего необходимо принять во внимание, что в упругих твердых телах продольная волна всегда сопровождается двумя поперечными волнами. В этом смысле, если рассматривать преломление волны на границе двух сред, предполагая, что волна в первой среде чисто поперечная, то во второй среде одновременно с поперечной волной должна возникнуть продольная. Все попытки увильнуть от этого вывода теории с помощью более или менее произвольных допущений были обречены на провал. Выдвигались удивительнейшие гипотезы: например, о том, что эфир оказывает сжатию бесконечно малое или, наоборот, бесконечно большое сопротивление по сравнению с его жесткостью относительно

поперечных колебаний, В этом случае продольные волны распространялись бы бесконечно медленно или, наоборот, бесконечно быстро и, таким образом, не проявляли бы себя в форме света. Физик Мак-Кэллаг (1839 г.) дошел даже до изобретения эфира, который полностью отличался от моделей упругих тел. В упругих телах частицы оказывают сопротивление любому изменению расстояния от их соседей; эфир же Мак-Кэллага обладал свойством противодействовать вращательным движениям соседей вокруг центральной частицы. Мы не можем здесь излагать эту теорию, но какой бы странной она ни показалась, она тем не менее важна как предвестник электромагнитной теории света. Она приводит почти к тем же формулам, что и последняя, и, по сути дела, в состоянии дать объяснение оптическим явлениям, которое в известной мере верно. Но ее слабость состоит в том, что она не устанавливает никакой взаимосвязи между оптическими и другими физическими явлениями. Ясно, что с помощью произвольных конструкций можно найти модели эфира, которые позволяли бы описать определенную область явлений. Однако подобные изобретения имеют ценность лишь тогда, когда они устанавливают связь между ранее не связанными физическими явлениями. Максвелл, показав, что свет представляет собой электромагнитное явление (о чем нам предстоит говорить позднее), сделал огромный шаг вперед.