§ 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГАЛИЛЕЯ

Хотя законы механики остаются одними и теми же во всех инерциальных системах, из этого отнюдь не следует, что координаты и скорости тел относительно двух инерциальных систем, находящихся в относительном движении, равны между собой. Если, например, тело покоится в системе то в другой системе движущейся относительно оно имеет постоянную скорость. Общие законы механики содержат только ускорения, а последние, как мы видели, одинаковы во всех инерциальных системах, чего нельзя сказать о координатах и скоростях.

Отсюда возникает задача определить скорость и положение тела в инерциальной системе если они заданы в другой инерциальной системе

Вопрос состоит в том, как перейти от одной системы координат к другой, движущейся относительно первой. На этом этапе необходимо сделать несколько замечаний относительно эквивалентных (одинаково приемлемых) систем координат вообще и относительно законов, называемых уравнениями преобразования, которые позволяют переходить от одной системы к другой с помощью вычислений.

В геометрии системы координат представляют собой средство удобного определения относительных положений тел. Для этого мы предполагаем, что система координат жестко связана с одним из тел, и тогда координаты точек другого тела полностью определяют относительное положение двух взятых тел. Разумеется, несущественно, какова выбранная система координат — прямоугольная, косоугольная, полярная или еще более общего вида. Также несущественна и ее ориентация относительно первого тела; необходимо лишь указать, поддерживается ли эта ориентация неизменной или, если она меняется, необходимо определить, как изменяется положение системы координат относительно тела. Если, например, мы пользуемся прямоугольными координатами в плоскости, то вместо первоначально выбранной системы можно взять другую которая смещена (фиг. 36) или повернута (фиг. 37) относительно 5. Но необходимо точно задать величину смещения и поворота. Из этих данных можно затем подсчитать, каковы в новой системе координаты точки имевшей координаты х, у в старой системе Если новые координаты обозначить как х, у, то мы получим формулы, позволяющие вычислить их из х, у. Мы проделаем это в простейшем случае, именно в случае, когда система получается из в результате параллельного смещения на величину а в направлении оси (фиг. 38). В этом случае, очевидно, новая координата точки будет равна старой координате уменьшенной на смещение а, тогда как координата у остается

неизменной. Итак, мы имеем

Сходные, но более сложные формулы преобразования имеют место и в других случаях. Позднее нам придется обсудить их более полно.

Фиг. 36. Две системы отсчета смещенные относительно друг друга.

Фиг. 37. Две системы отсчета повернутые относительно друг друга.

Важно уяснить себе, что существуют величины, выражения которых, в различных системах координат остаются одними и теми же.

Фиг. 38. Система смещена на расстояние а вдоль оси Точка имеет координаты х, у в системе и координаты в системе

Фиг. 39. Выражение для расстояния между точками измеренного вдоль оси одинаково в обеих системах:

О таких величинах говорят, что они инвариантны относительно преобразования координат, связывающего две системы координат. Рассмотрим в качестве примера преобразование (27), описанное выше и выражающее смещение координат вдоль оси Очевидно, что А — разность -координат двух точек не изменяется. Действительно (фиг. 39),

Если две системы координат наклонены одна относительно другой, то расстояние между двумя точками представляет собой инвариант (фиг. 40). Его выражение остается одним и тем же в обеих системах, так как, по теореме Пифагора,

В более общем случае, когда система координат одновременно смещается и поворачивается, расстояние между точками также остается инвариантным.

Фиг. 40. Выражение для расстояния между точками оказывается одним и тем же в обеих системах:

Инварианты особенно важны потому, они представляют геометрические соотношения безотносительно к случайному выбору системы координат. Они и в дальнейшем будут играть важную роль.

Возвращаясь теперь от этого геометрического отступления к нашему исходному пункту, мы должны ответить на вопрос: каковы законы преобразования, позволяющие переходить от одной инерциальной системы к другой?

Мы определили инерциальную систему как систему, в которой справедлив закон инерции. В этой связи важно лишь состояние движения, именно имеет ли место ускорение относительно абсолютного пространства; природа же и положение системы координат несущественны. Если выбрать ее прямоугольной, как это обычно делается, то ее положение все еще остается произвольным. Можно взять смещенную или повернутую систему, но она должна иметь то же состояние движения. Мы уже пользовались термином система отсчета всегда, когда речь шла о состоянии движения (а не о природе и положении системы

координат); это выражение мы будем систематически использовать и в дальнейшем.

Если некоторая инерциальная система движется прямолинейно относительно системы со скоростью то в обеих системах отсчета можно выбрать прямоугольные координаты, такие, что направление движения совпадает с осями соответственно. Более того, можно предположить, что в момент времени начала обеих систем совпадают. Тогда по прошествии времени начало системы окажется смещенным на величину в направлении таким образом, в этот момент наши системы окажутся точно в той ситуации, которую мы рассмотрели выше с чисто геометрической точки зрения. Следовательно, справедливо уравнение (27), где теперь нужно заменить а на Таким образом, мы получаем уравнения преобразования

Здесь мы добавили неизменившиеся и -координаты. Соотношения (29) называют преобразованием Галилея в честь основателя механики.

Можно также перефразировать принцип относительности следующим образом:

Законы механики инвариантны относительно преобразований Галилея.

Это обусловлено тем фактом, что инвариантны ускорения, как мы уже видели, рассматривая изменения скорости движущегося тела относительно двух инерциальных систем.

Ранее мы показали, что теорию движения, или кинематику, можно интерпретировать как геометрию в четырехмерном -пространстве — «мире» Минковского. В этой связи небезынтересно выяснить, что представляют собой инерциальные системы и преобразование Галилея в такой четырехмерной геометрии. Это совсем нетрудно, так как и -координаты не входят в преобразование вообще. Поэтому достаточно оперировать в плоскости

Представим себе нашу инерциальную систему в виде прямоугольной -системы координат (фиг. 41). Вторая инерциальная система тогда соответствует другой системе координат и вопрос состоит в следующем: что представляет собой вторая система и как она расположена относительно первой? Прежде всего мера времени во второй системе в точности та же, что и в первой, именно это абсолютное время таким образом, ось на которой совпадает с осью где Следовательно, система может быть лишь косоугольной координатной системой. Ось представляет собой мировую линию точки т. е. начала системы координат Координата этой точки (движущейся со скоростью относительно системы

равна в системе в каждый момент времени Поэтому для любой мировой точки из чертежа следует формула преобразования Галилея

Любой другой инерциальной системе соответствует другая косоугольная система координат с той же самой осью но иначе наклоненной осью Прямоугольная система координат, с которой мы начали, не обладает предпочтительным правом среди этих косоугольных систем. Единица времени на всех осях различных координатных систем представляется той же самой параллелью к оси Это в определенном смысле калибровочная кривая относительно времени в плоскости

Суммируем этот результат в виде следующего утверждения:

В плоскости выбор направления оси совершенно произволен; в любой системе координат имеющей ту же самую ось фундаментальные законы механики справедливы.

С геометрической точки зрения это многообразие эквивалентных систем координат крайне уникально и необычно. Особенно замечательно фиксированное положение или инвариантность оси Когда мы обращаемся к косоугольным координатам в геометрии, это обычно не вызывает необходимости поддерживать положение одной из осей фиксированным. Однако ньютоновский постулат абсолютного времени требует этого. Все события, которые происходят одновременно, т. е. при одном и том же значении представляются параллелью к оси так как, согласно Ньютону, время течет «абсолютно и безотносительно к какому-либо объекту».

В дальнейшем мы увидим, что это несимметричное поведение мировых координат упомянутое здесь лишь как дефект в математическом совершенстве, в действительности не существует. Эйнштейн исключил его посредством своей релятивизации понятия времени.

Фиг. 41. Диаграмма в плоскости иллюстрирующая образование Галилея.