§ 11. АБСОЛЮТНЫЙ МИР МИНКОВСКОГО

Суть новой кинематики состоит в нераздельности пространства и времени. Мир представляет собой четырехмерное многообразие, его элементом является мировая точка. Пространство и время составляют форму размещения мировых точек, причем это размещение до известной степени произвольно. Минковский выразил эту идею следующим образом: «Отныне и навсегда пространство и время превращаются лишь в тени и только некий род единства того и другого сохраняет независимое существование». Он обосновал это положение, разработав кинематику в форме четырехмерной геометрии. Мы повсюду пользовались его методом описания, лишь ради простоты отвлекаясь от осей и работая в плоскости Присмотревшись к геометрии в плоскости с математической точки зрения, можно заметить, что мы имеем дело не с обычной евклидовой геометрией. Действительно, в евклидовой геометрии все прямые линии, исходящие из начала координат, эквивалентны, а единица длины на них — одна и та же; таким образом, калибровочная кривая представляет собой окружность (фиг. 133).

Фиг. 133. Фундаментальный инвариант евклидовой геометрии.

В нашей же геометрии в плоскости пространственно-подобные и временно-подобные прямые не эквивалентны. Каждой из них свойственны различные единицы длины, а калибровочная кривая состоит из двух гипербол

В евклидовой геометрии можно построить бесчисленное множество прямоугольных систем координат с одним и тем же началом О, причем каждую из них можно трансформировать в другую с помощью поворота. В плоскости также существует бесконечное число эквивалентных систем координат, одну из осей которых можно произвольно выбирать в пределах определенной области углов.

В евклидовой геометрии расстояние точки с координатами х, у от начала координат представляет собой инвариант относительно поворота системы координат [см. гл. III, § 7, формула (28), стр. 77]: в системе по теореме Пифагора

в любой другой системе точно так же Калибровочная кривая — окружность единичного радиуса — характеризуется равенством Следовательно, можно считать фундаментальным инвариантом евклидовой геометрии.

В плоскости фундаментальный инвариант имеет вид

а калибровочная кривая определяется условием

Минковский заметил здесь параллель, проливающую свет на математическую структуру четырехмерного мира (или, в нашем случае, на структуру плоскости Действительно, положив — мы получим

эту величину можно рассматривать как фундаментальный инвариант евклидовой геометрии в прямоугольных координатах Правда, в области обычных чисел невозможно вычислить квадратный корень из отрицательной, величины — поэтому и не имеет элементарного смысла. Но математики давно привыкли преодолевать такие трудности. «Мнимая» единица надежно утвердилась в математике со времен Гаусса. Мы не можем здесь углубляться в вопрос, как законы мнимых чисел можно строго обосновать. По сути дела, эти числа не более «мнимы», чем дробь, скажем, 2/3: ведь числа, с помощью которых мы исчисляем вещи и считаем, ограничиваются лишь натуральными (целыми) числами Число 2 не делится на 3, так что представляют операцию, не в большей мере осуществимую, чем операция Дроби вида это

расширение естественного представления о числах; однако благодаря образованию и привычке они всем знакомы и не вызывают ощущения странности. Введение мнимых чисел представляет собой подобное же расширение: все формулы, содержащие мнимые числа, имеют такой же определенный смысл, как и формулы с обычными, «реальными» числами; выводы, следующие из этих формул, не менее убедительны.

Пользуясь символом мы можем записать

Неевклидова геометрия плоскости оказывается, таким образом, формально идентичной евклидовой геометрии в плоскости если мнимые значения и сопоставить реальным временам

Эта теорема имеет большую ценность для математического аппарата теории относительности, так как предмет многочисленных операций и вычислений может не иметь ничего общего с реальностью рассматриваемых величин и сводиться лишь к алгебраическим соотношениям, существующим между ними,— а эти соотношения так же хорошо выполняются для мнимых чисел, как и для действительных. Благодаря этому мы можем применять законы, известные из евклидовой геометрии, к четырехмерному миру. Минковский заменяет на затем оперирует с этими четырьмя координатами полностью симметричным образом. Фундаментальный инвариант при этом, очевидно, приобретает вид

Таким путем особенность временной переменной (заключающаяся в том, что ее квадрат входит в с отрицательным знаком) исчезает из всех формул, что в заметной мере упрощает вычисления и позволяет без труда рассматривать эти формулы как целое. В окончательном результате мы вновь заменяем и на и сохраняем физический смысл только за теми формулами, которые содержат исключительно действительные числа.

В плоскости время очевидно, невозможно поменять местами с Световые линии образуют непреодолимые барьеры между временно-подобными и пространственно-подобными мировыми линиями. Таким образом, преобразование Минковского представляет ценность лишь как искусственный математический прием, проливающий свет на определенные формальные аналогии между пространственными и временной координатами, не обеспечивая, однако, их взаимозаменяемости. Мы можем назвать

«четырехмерным расстоянием», но при этом следует помнить,

что это выражение используется лишь символически. Отправляясь от нашего предыдущего обсуждения инварианта реальный смысл величины нетрудно истолковать. Ограничимся плоскостью тогда

Далее, для всякой пространственно-подобной мировой линии положителен, следовательно, как квадратный корень из положительного числа, есть действительная величина. Тогда можно сделать мировую точку (событие) одновременной с началом путем соответствующего выбора системы отсчета 5. При мы имеем в роли пространственного расстояния от мировой точки до начала отсчета.

Для всякой временно-подобной мировой линии отрицателен и, значит, мнимо. Тогда существует система координат, в которой следовательно, Таким образом, в том и в другом случае имеет простой смысл и является измеримой величиной.

Наш обзор специальной теории относительности Эйнштейна можно суммировать в виде следующих утверждений.

Не только законы механики, но и законы всех физических событий, в частности и электромагнитных явлений, совершенно одинаковы в бесконечном множестве систем отсчета, движущихся с постоянными скоростями относительно друг друга и называемых инерциальными системами. В любой из этих систем длины и времена, измеренные с помощью одной и той же физической линейки и одних и тех же часов, кажутся иными из всякой другой системы, но результаты измерений всегда связаны друг с другом посредством преобразования Лоренца.

Системы отсчета, движущиеся относительно друг друга ускоренно, идентичны инерциальным системам не в большей мере, чем в обычной механике. Запись физических законов в разных ускоренных системах оказывается различной. В механике эти законы начинают содержать центробежные силы, в электродинамике тоже существуют аналогичные эффекты; однако их изучение увело бы нас слишком далеко. Итак, специальная теория относительности Эйнштейна не порывает окончательно с ньютоновским абсолютным пространством в том ограниченном смысле, в каком мы использовали это понятие (гл. III, § 6, стр. 73). В известном смысле эта теория приводит всю физику, в том числе и электродинамику, в то состояние, в котором находилась механика со времен Ньютона. Фундаментальные вопросы абсолютного пространства, которые тревожили нас, еще не разрешены.

Теперь мы расскажем, как Эйнштейн преодолел эти трудности.