Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 7. МЕТРИКА ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОГО КОНТИНУУМАПолное множество выделенных мировых точек есть то, что действительно доступно достоверному подтверждению. Сам по себе четырехмерный пространственно-временной континуум лишен структуры. Определенная геометрия с конкретной метрикой на пространственно-временном континууме задается взаимным расположением мировых точек, установленным с помощью эксперимента. Таким образом, в реальном мире мы сталкиваемся с тем же положением, с которым встретились, рассматривая геометрию на поверхности. Поэтому и математический подход следует тем же самым приемам. Прежде всего зададимся в четырехмерном мире гауссовыми координатами — сеткой как-то заданных мировых точек. Пространство рассматривается как заполненное материей, находящейся в произвольном движении; она может деформироваться любым образом, но должна сохранять свою непрерывную связность. Как выразился Эйнштейн, она напоминает своеобразный «моллюск». В этом пространстве мы проводим три семейства пересекающихся линий, перенумеровав их, и помечаем эти семейства символами Все движущиеся жесткие системы отсчета представляют собой, конечно, частные формы этих общих, способных деформироваться систем. Но с нашей принципиальной точки зрения бессмысленно вводить жесткость как нечто заведомо данное. Разделение пространства и времени также произвольно. Действительно, поскольку скорости часов можно считать произвольными, но непрерывно меняющимися, пространство и полное множество всех «одновременных» мировых точек не есть физическая реальность. Если гауссовы координаты выбрать иным способом, одновременными станут другие мировые точки. Но то, что не меняется при переходе от одной системы гауссовых координат к другой, — это точки пересечения реальных мировых линий, меченые мировые точки, пространственно-временные совпадения. Все действительно доказуемые факты физики представляют собой качественные соотношения между положениями этих мировых точек и, таким образом, остаются неизменными при заменах гауссовых координат. Такого рода преобразования гауссовых координат пространственно-временного континуума состоят в переходе от одной системы отсчета к другой, которая также произвольно деформирована и находится в движении. Постулат о том, что мы пользуемся лишь действительно доказуемыми законами природы, имеет следствием, что эти законы инвариантны относительно произвольных преобразований гауссовых координат от На этом пути мы достигаем надежного обоснования общего подхода к пространственно-временному континууму с релятивистских позиций. Следующим шагом должно быть установление взаимосвязи этого математического метода со сделанными ранее физическими заключениями, кульминационным моментом которых было установление принципа эквивалентности. Мы теперь находимся в том же положении по отношению к четырехмерному миру, в котором был землемер в лесу после того, как разметил свою координатную сетку, но еще не начал обмерять ее с помощью измерительной рулетки. Наша задача — выбрать четырехмерную измерительную рулетку. Такой выбор предоставляет нам принцип эквивалентности. Мы уже знаем, что с помощью соответствующего выбора системы отсчета можно с уверенностью обеспечить отсутствие гравитационного поля в любой достаточно малой области мира. Существует бесконечное число таких систем отсчета. Они движутся прямолинейно и равномерно относительно друг друга, и в них справедливы законы специальной теории относительности. Поведение линеек и часов определяется преобразованиями Лоренца; прямые мировые линии олицетворяются световыми лучами и траекториями инерциального движения (см. стр. 230 и 233). В пределах этой малой области мира величина
— инвариант, имеющий прямой физический смысл. Действительно, если линия, соединяющая начало О (оно, как предполагается, находится внутри малой области) с мировой точкой прошедший между событиями
Фиг. 142. Метрика в окрестности мировой точки Оно доступно прямому измерению с помощью измерительных линеек и часов, и, таким образом, если ввести мнимую координату
Тот факт, что специальная теория относительности применима в малых областях пространства-времени, точно соответствует факту применимости евклидовой геометрии в достаточно малых областях искривленной поверхности. Но ни теоремы евклидовой геометрии, ни законы специальной теории относительности не обязаны выполняться в больших областях. Здесь не обязаны существовать прямые линии вообще, но лишь самые прямые или геодезические линии. Дальнейшее рассмотрение четырехмерного мира идет параллельно теории поверхностей. Сначала следует обмерить ячейки любой сетки гауссовых координат с помощью четырехмерного расстояния пределах малой области можно представить как прямые. Гиперболические калибровочные кривые Использование формулы (97) из теории поверхностей приводит к выражению
для инварианта
или, если изменить обозначения (записывая вместо
Величины В четырехмерном мире инвариантное расстояние
Эту формулу можно назвать обобщенной теоремой Пифагора в четырехмерном мире. Метрические коэффициенты
|
1 |
Оглавление
|