§ 7. МЕТРИКА ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОГО КОНТИНУУМА

Полное множество выделенных мировых точек есть то, что действительно доступно достоверному подтверждению. Сам по себе четырехмерный пространственно-временной континуум лишен структуры. Определенная геометрия с конкретной метрикой на пространственно-временном континууме задается взаимным расположением мировых точек, установленным с помощью эксперимента. Таким образом, в реальном мире мы сталкиваемся с тем же положением, с которым встретились, рассматривая геометрию на поверхности. Поэтому и математический подход следует тем же самым приемам.

Прежде всего зададимся в четырехмерном мире гауссовыми координатами — сеткой как-то заданных мировых точек. Пространство рассматривается как заполненное материей, находящейся в произвольном движении; она может деформироваться любым образом, но должна сохранять свою непрерывную связность. Как выразился Эйнштейн, она напоминает своеобразный «моллюск». В этом пространстве мы проводим три семейства пересекающихся линий, перенумеровав их, и помечаем эти семейства символами . В углах ячеек получающейся пространственной сетки мы помещаем часы, идущие с произвольной скоростью, но размещенные так, что разность показаний двух соседних часов мала. Таким образом, целое представляет собой нежесткую систему отсчета - «моллюск отсчета». В четырехмерном мире мы получаем, следовательно, систему гауссовых координат, состоящую из сетки четырех перенумерованных семейств поверхностей

Все движущиеся жесткие системы отсчета представляют собой, конечно, частные формы этих общих, способных деформироваться систем. Но с нашей принципиальной точки зрения бессмысленно вводить жесткость как нечто заведомо данное. Разделение пространства и времени также произвольно. Действительно, поскольку скорости часов можно считать произвольными, но непрерывно меняющимися, пространство и полное множество всех «одновременных» мировых точек не есть физическая реальность. Если гауссовы координаты выбрать иным способом, одновременными станут другие мировые точки.

Но то, что не меняется при переходе от одной системы гауссовых координат к другой, — это точки пересечения реальных мировых линий, меченые мировые точки, пространственно-временные совпадения. Все действительно доказуемые факты физики представляют собой качественные соотношения между положениями этих мировых точек и, таким образом, остаются неизменными при заменах гауссовых координат.

Такого рода преобразования гауссовых координат пространственно-временного континуума состоят в переходе от одной системы отсчета к другой, которая также произвольно деформирована и находится в движении. Постулат о том, что мы пользуемся лишь действительно доказуемыми законами природы, имеет следствием, что эти законы инвариантны относительно произвольных преобразований гауссовых координат от Этот постулат, очевидно, содержит в себе общий принцип относительности, ибо в число преобразований входят и все те, которые определяют переход от одной системы отсчета к другой, движущейся произвольно. Формально, однако, он шире принципа относительности, поскольку включает также произвольные деформации пространственных и временных единиц отсчета.

На этом пути мы достигаем надежного обоснования общего подхода к пространственно-временному континууму с релятивистских позиций. Следующим шагом должно быть установление взаимосвязи этого математического метода со сделанными ранее физическими заключениями, кульминационным моментом которых было установление принципа эквивалентности.

Мы теперь находимся в том же положении по отношению к четырехмерному миру, в котором был землемер в лесу после того, как разметил свою координатную сетку, но еще не начал обмерять ее с помощью измерительной рулетки. Наша задача — выбрать четырехмерную измерительную рулетку.

Такой выбор предоставляет нам принцип эквивалентности. Мы уже знаем, что с помощью соответствующего выбора системы отсчета можно с уверенностью обеспечить отсутствие гравитационного поля в любой достаточно малой области мира. Существует бесконечное число таких систем отсчета. Они движутся прямолинейно и равномерно относительно друг друга, и в них справедливы законы специальной теории относительности. Поведение линеек и часов определяется преобразованиями Лоренца; прямые мировые линии олицетворяются световыми лучами и траекториями инерциального движения (см. стр. 230 и 233). В пределах этой малой области мира величина

— инвариант, имеющий прямой физический смысл. Действительно, если линия, соединяющая начало О (оно, как предполагается, находится внутри малой области) с мировой точкой есть пространственно-подобная мировая линия, то представляет собой расстояние в той системе отсчета, в которой точки одновременны. Но если мировая линия временно-подобная, то где интервал времени,

прошедший между событиями в той системе координат, в которой эти события произошли в одной и той же точке пространства. Раньше мы назвали четырехмерным расстоянием (гл. VI, § 10, стр. 299).

Фиг. 142. Метрика в окрестности мировой точки

Оно доступно прямому измерению с помощью измерительных линеек и часов, и, таким образом, если ввести мнимую координату это расстояние формально носит тот же характер, что и евклидово расстояние в четырехмерном пространстве:

Тот факт, что специальная теория относительности применима в малых областях пространства-времени, точно соответствует факту применимости евклидовой геометрии в достаточно малых областях искривленной поверхности. Но ни теоремы евклидовой геометрии, ни законы специальной теории относительности не обязаны выполняться в больших областях. Здесь не обязаны существовать прямые линии вообще, но лишь самые прямые или геодезические линии.

Дальнейшее рассмотрение четырехмерного мира идет параллельно теории поверхностей. Сначала следует обмерить ячейки любой сетки гауссовых координат с помощью четырехмерного расстояния Мы изобразили этот процесс в двумерной плоскости (фиг. 142). Пусть ячейка координатной сетки ограничена линиями (ср. с фиг. 137, стр. 314). Лучи света, распространяющиеся из узла соответствуют двум пересекающимся мировым линиям, которые в

пределах малой области можно представить как прямые. Гиперболические калибровочные кривые заключены между этими световыми линиями. Они соответствуют окружности, которая в обычной геометрии проходит через все точки, удаленные от начала на одно и то же расстояние, равное 1.

Использование формулы (97) из теории поверхностей приводит к выражению

для инварианта где гауссовы координаты произвольной точки лежащей внутри рассматриваемой ячейки. Подставляя сюда мы находим

или, если изменить обозначения (записывая вместо и вместо

Величины называются метрическими коэффициентами и имеют прямую физическую интерпретацию. Так, например, при т. е. определяет истинную длину пространственного ребра ячейки в той системе отсчета, в которой ячейка покоится.

В четырехмерном мире инвариантное расстояние между двумя соседними точками, относительные гауссовы координаты которых есть определяется выражением вида

Эту формулу можно назвать обобщенной теоремой Пифагора в четырехмерном мире.

Метрические коэффициенты будут иметь различные значения от ячейки к ячейке координатной сетки; это означает, что они зависят от координат и от момента времени определяющих точку О. Более того, они будут иметь другие значения и при другом выборе гауссовых координат, причем новые значения будут связаны со старыми посредством определенных формул преобразования.