§ 4. ДВИЖУЩИЕСЯ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ЛИНЕЙКИ И ЧАСЫ

Нам предстоит теперь ответить на простейшие вопросы кинематики, связанные с измерениями длин одной и той же измерительной линейки и длительностей одного и того же отрезка времени в различных системах отсчета.

Пусть линейка единичной длины расположена в начале системы отсчета вдоль оси Зададимся вопросом, какова ее длина в системе Сразу ясно, что эта длина будет отличаться от единичной. Ведь наблюдатели, движущиеся с системой будут, конечно, измерять положения концов линейки одновременно, т. е. одновременно в системе отсчета Но это не значит одновременно в системе отсчета Таким образом, даже если положение одного конца линейки определили одновременно наблюдатели и системы 5 и системы то отсчет другого ее конца, одновременный по -часам, наблюдатель системы и наблюдатель системы не смогут выполнить. В тот момент, когда это делается, система уже сдвинута вперед и результат, полученный наблюдателем системы отражает смещенное положение второго конца линейки.

Фиг. 119. Лоренцово сокращение.

На первый взгляд этот вопрос кажется безнадежно запутанным. Есть противники принципа относительности, простые умы, кто, познакомившись с этим осложнением в определении длины линейки, с благородным возмущением восклицает: «Разумеется, можно вывести все что угодно, если пользоваться неверными часами. Вот вам пример того, до какого абсурда может довести слепая вера в магическую силу математических формул», - и единым ударом сражают теорию относительности. Наш читатель, как мы надеемся, уже догадался, что формулы — ни в коей мере не самое главное обстоятельство: ведь мы имеем дело с чисто принципиальными соотношениями, которые можно с успехом понять и не обращаясь обязательно к математике. В самом деле, ведь мы могли не только обойтись без формул, но

и без геометрических фигур и изложить всю проблему обычными словами, хотя в этом случае наша книга оказалась бы настолько громоздкой и настолько трудной для восприятия, что никто не взялся бы за ее публикацию и никто не стал бы ее читать.

Обратимся сначала к чертежу в плоскости и разберемся в вопросе определения длины линейки в двух системах отсчета (фиг. 119). Предполагается, что линейка покоится в системе Соответственно мировая линия ее первого конца совпадает с осью а мировая линия второго конца представляет собой прямую, параллельную оси и удаленную от нее на расстояние 1; эта параллельная линия касается калибровочной кривой в точке Таким образом, наша линейка представляется во все моменты времени в виде полоски, заключенной между двумя прямыми.

Итак, мы должны определить длину линейки в системе движущейся относительно Ось при этом наклонена к оси Соответствующую ось мы находим, проводя касательную к точке пересечения оси с калибровочной кривой и затем проводя к ней через точку О параллель Расстояние представляет собой единицу длины по оси Однако длина единичной линейки, покоящейся в системе при измерении в системе составляет расстояние которое параллельная полоска, олицетворяющая линейку, вырезает на оси Это расстояние, очевидно, короче, чем следовательно, меньше 1; таким образом, линейка оказывается сжатой в движущейся системе

Это сжатие в точности совпадает с сокращением, предложенным Фицджеральдом и Лоренцом для объяснения опыта Майкельсона и Морли. Здесь оно появляется как естественное следствие кинематики Эйнштейна.

Наоборот, при измерении в системе линейки, покоящейся в системе она оказывается также сжатой, а не вытянутой. В самом деле, линейка представляется полоской, ограниченной осью и параллельной ей мировой линией, проходящей через точку Но эта мировая линия отсекает единичное расстояние в системе во внутренней точке так что снова меньше 1.

Итак, сокращение оказывается взаимным, а именно этого и требует теория относительности. Его величину удобнее всего находить с помощью преобразования Лоренца (70).

Пусть длина линейки в системе отсчета в которой линейка покоится: называют собственной длиной линейки (длиной в покое). Два конца линейки имеют координаты, скажем, так что

При наблюдении этой линейки из системы мы по первой из формул (70а) имеем:

где представляют собой координаты точек в системе Пусть теперь мы хотим измерить длину линейки в системе это значит, что нужно определить координаты и одновременно относительно часов системы мы должны положить Выполняя это и вычитая первое из выписанных нами уравнений из второго, мы получаем

Полагая мы можем записать

Эта формула утверждает, что длина линейки в системе оказывается уменьшенной в отношении в точном согласии с гипотезой сокращения, предложенной Фицджеральдом и Лоренцом (гл. V, § 15).

Фиг. 120. Замедление времени.

Те же самые соображения применимы и к определению интервала времени в двух различных системах отсчета

Предположим, что в каждой пространственной точке системы помещены часы, идущие с одной и той же скоростью. В каждый определенный момент времени стрелки этих часов относительно системы имеют определенное положение. Положение стрелок, соответствующее представляется мировыми точками, лежащими на оси а положение мировыми точками, лежащими на прямой, проходящей через точку и параллельной оси (фиг. 120).

Предположим, что в начале системы помещены часы, стрелки которых показывают в тот самый момент, когда Выясним вопрос, каково положение стрелок часов системы расположенных в той точке, где покоящиеся в системе часы показывают время точно Искомое значение очевидно, определяется точкой пересечения оси с калибровочной кривой . С другой стороны, положение стрелок часов,

покоящихся в системе представляется точками прямой линии, проведенной через точку параллельно оси Эта прямая пересекает ось в точке как видно из фигуры, лежит вне расстояния Но это означает, что единица времени системы представляется в системе удлиненной.

Для того чтобы вычислить величину удлинения, рассмотрим начавшийся в момент времени и закончившийся в момент период времени который отсчитали часы, покоящиеся в системе очевидно, Из второй формулы (70а) мы получаем

Весь период времени мы измеряем в пространственной точке где расположены часы системы Из первой формулы (70а) следует, что так как наши часы имеют скорость относительно системы Отнимем от

Таким образом, период времени протекший в системе связан с периодом времени в системе соотношением

Это удлинение (замедление) времени противоположно по характеру сокращению длины. Разумеется, с обратной точки зрения единица времени по часам, покоящимся в системе оказывается увеличенной в системе

Другими словами, с точки зрения любой выбранной системы все часы систем, движущихся относительно выбранной, кажутся запаздывающими. Течение событий во времени во всех системах, находящихся в относительном движении, замедлено, так что все события в движущейся системе запаздывают по отношению к соответствующим событиям в той системе, которую мы считаем покоящейся. К последствиям, вытекающим из этого факта и часто воспринимаемым как парадоксальные, мы вернемся позже.

Время, которое показывают часы, покоящиеся в выбранной системе отсчета, называется собственным временем системы. Оно идентично «локальному времени» Лоренца. Шаг вперед, сделанный теорией Эйнщтейна, заключается не в формулировании законов, а скорее в принципиальном изменении точки зрения на эти законы. Лоренц ввел локальное время как вспомогательную математическую величину в противоположность истинному абсолютному времени. Эйнштейн доказал, что не существует средств, позволяющих определить это абсолютное время или отличить его от бесконечного числа эквивалентных локальных времен в различных системах отсчета, находящихся в относительном движении. Но это значит, что абсолютное время не имеет реального физического смысла. Временные данные имеют смысл только относительно определенных систем отсчета. В этом заключается завершение релятивизации понятия времени.