§ 10. СИЛА И УСКОРЕНИЕ

Прежде чем приступить к обсуждению поразительной параллели между массой и весом, упомянутой в предыдущем параграфе, применим уже установленные нами законы к случаю сил, действующих непрерывно. Очевидно, все наши теоремы можно строго сформулировать опять-таки лишь с помощью методов дифференциального исчисления, однако нижеследующие соображения могут помочь составить приближенное представление о некоторых соотношениях.

Непрерывно действующая сила вызывает движение, скорость которого непрерывно изменяется. Представим себе, что сила заменена быстрой последовательностью ударов, или импульсов силы. При каждом ударе скорость испытывает мгновенное изменение; в результате получится многократно изломанная мировая линия, как показано на фиг. 10; она будет аппроксимировать истинную непрерывно искривленную мировую линию, и ее можно использовать вместо последней при вычислениях. Далее, если силу К заменить ударами в секунду, то, согласно уравнению (5), каждый из ударов (импульсов силы) будет равен где короткий интервал времени, в течение которого происходит каждый удар. При передаче каждого импульса силы

имеет место изменение скорости, равное которое, согласно (7), определяется уравнением Но, согласно (2), следовательно,

Эта формула представляет собой формулировку закона движения в динамике непрерывно действующих сил. Он утверждает, что сила вызывает ускорение, пропорциональное величине этой силы, постоянное отношение К.: есть масса.

Этому закону можно придать иную форму, более целесообразную во многих отношениях, в частности более удобную для выполнения обобщений, которых: требует динамика Эйнштейна (см. гл. VI, § 7, стр. 268). Когда скорость изменяется на величину количество движения переносимое движущимся телом, изменяется на величину Таким образом, мы получаем изменение количества движения тела за время в течение которого происходит это изменение. Соответственно фундаментальный закон, выраженный формулой (10), можно высказать следующим образом.

Если на тело действует сила К, то количество движения переносимое телом, изменяется таким образом, что изменение его в единицу времени равно силе К.

В этой форме закон справедлив только для движений, происходящих вдоль прямой линии, и для сил, действующих вдоль той же прямой. Если ситуация не такова, т. е. если сила действует под углом к мгновенному направлению движения, то закон следует каким-то образом обобщить. Представим себе силу в виде стрелы (вектора) и спроектируем ее на три взаимно перпендикулярных направления, скажем, на координатные оси. На фиг. 21 изображена сила, действующая в плоскости и ее проекции на оси Представим себе, что движущаяся точка таким же образом спроектирована на эти оси. Тогда каждая проекция движется вдоль своей оси. Закон движения в этом случае утверждает, что ускорения, соответствующие этим спроектированным движениям, подчиняются соотношению где К — соответствующие проекции (компоненты) силы. Мы не будем углубляться далее в эти математические обобщения, не содержащие ничего принципиально нового.

Фиг. 21. Компоненты силы К в плоскости с координатами .