§ 4. АКСИОМЫ ГЕОМЕТРИИ

Древняя геометрия как наука была в гораздо меньшей мере связана с вопросом определения положений на поверхности Земли, чем с определением размеров и форм площадей, объемов и фигур в пространстве, а также законов, которым подчиняются эти фигуры. Геометрия брала свое начало в искусствах геодезии и архитектуры. При этом она обходилась без понятия координат. Первое и основное: геометрические теоремы определяют свойства объектов, которые называются точками, прямыми линиями и плоскостями. В классическом каноне греческой геометрии — работе Евклида (300 г. до н. э.) - эти вещи не определяются специально, но лишь перечисляются и описываются. Таким образом, на помощь привлекается интуиция. Вы должны уже знать, что такое прямая линия, если хотите приступить к изучению геометрии. Представьте себе угол дома или натянутую струну, отвлекитесь от вопроса, из чего это сделано, и вы получите прямую линию. Затем устанавливаются законы, которые должны выполняться для конфигураций таких абстрактных вещей. Именно грекам принадлежит честь великого открытия, заключающегося в том, что необходимо предположить справедливость лишь небольшого числа таких законов для того, чтобы все остальные можно было вывести из них с логической неизбежностью. Такие утверждения, используемые как фундамент, называются аксиомами. Их достоверность не может быть доказана. Они вытекают не из логики, но из других источников знания. Что из себя представляют эти источники — предмет философских размышлений последующих веков. Сама геометрическая наука вплоть до конца XIX в. принимала эти аксиомы как априорно заданные и на их основе строила чисто дедуктивную систему теорем.

В дальнейшем нам придется обсуждать вопрос о смысле элементарных конфигураций, называемых точкой, прямой линией и т. д., и об источниках наших знаний геометрических аксиом. Здесь, однако, мы будем предполагать, что нам все ясно в этом вопросе, и, таким образом, будем оперировать указанными понятиями так, как научились в школе. Интуитивная правильность многочисленных геометрических теорем и

применимость всей системы к представлениям привычного для нас окружающего мира будут на этой стадии достаточным оправданием их использования.