§ 6. МАТЕМАТИКА И РЕАЛЬНОСТЬ

Вопрос состоит в следующем: что вообще является объектом геометрических представлений? Геометрия, бесспорно, берет свое качало в искусстве землемера измерять площади, т. е. в чисто эмпирической доктрине. Древние обнаружили, что геометрические теоремы можно доказывать дедуктивным методом, принимая на веру лишь небольшое количество принципов и аксиом, а затем выводя из них чисто логическим путем всю систему остающихся теорем. Это открытие произвело мощный эффект. Геометрия стала образцом для всякой дедуктивной науки, а одной из целей требовательных мыслителей стало умение доказать что-нибудь «более геометрически». Итак, что представляют собой объекты, с которыми имеет дело наука «геометрия»? Философы и математики обсуждали этот вопрос со всех точек зрения и дали довольно большое число ответов. Достоверность и неопровержимая точность геометрических теорем были признаны полностью. Оставалась единственная нерешенная проблема: как приходить к таким абсолютно достоверным теоремам и что представляют собой те вещи, о которых говорят эти теоремы.

Вне всякого сомнения верно, что если кто-то признает геометрические аксиомы правильными, то он вынужден также признать и правильность всех остальных теорем геометрии, ибо цепь доказательств оказывается исчерпывающе полной для каждого, кто в принципе мыслит логически. Благодаря этому проблема сужается до вопроса о происхождении аксиом. Аксиомы представляют собой небольшое число утверждений относительно точек, прямых линий, плоскостей и других подобных понятий; эти утверждения обязаны строго выполняться. По этой причине, в отличие от большинства положений науки и обычной жизни, они не могут брать начало в опыте; ведь опыт всегда дает лишь приближенно верные или более или менее вероятные результаты. Таким образом, мы должны искать другие источники - знаний, которые позволили бы гарантировать абсолютную достоверность этих теорем. Согласно Канту (1781 г.), время и пространство — это формы интуиции, данные нам априорно, предшествующие всякому опыту и,

безусловно, предопределяющие возможность самого опыта. Согласно этой точке зрения, объекты геометрии должны представлять собой заранее разработанные формы чистой интуиции, составляющие базу суждений, которые мы выводим относительно реальных объектов с помощью эмпирической интуиции (прямого восприятия). Так, утверждение «край этой линейки прямой» вытекает из сравнения непосредственно наблюдаемого края с рожденным чистой интуицией представлением о прямой линии, причем этот процесс, конечно, не осознается. Таким образом, объектом геометрической науки должна была бы оказаться прямая линия, заданная чистой интуицией, т. е. не логическое понятие, не физический объект, но некий третий вид представления, природу которого можно вызвать к жизни, лишь сосредоточив внимание на опыте, связанном с интуитивным представлением о «прямом».

Мы не собираемся выносить приговор этой доктрине или другим подобным философским теориям. Они занимаются прежде всего субъективным ощущением пространства, а это лежит далеко за рамками нашей книги. Мы здесь имеем дело с пространством и временем физики, т. е. науки, которая сознательно и все более явственно отказывается от интуиции как источника знаний и требует более точных критериев.

Итак, мы должны воспринимать как факт, что физик никогда не высказал бы утверждения «край этой линейки прямой», исходя лишь из чистой интуиции. Ему совершенно безразлично, существует ли вообще такая вещь, как чистая форма интуитивного представления о прямой линии, с которой можно было бы сравнивать край линейки. Скорее наоборот, он проделал бы определенные эксперименты по проверке этой прямизны точно так же, как он подверг бы проверке опытом всякое другое утверждение относительно объектов. Например, он посмотрел бы вдоль края линейки, т. е. проверил бы, действительно ли луч света, который касается начальной и конечной точек края, касается и всех остальных его точек (фиг. 140). Или стал бы поворачивать линейку относительно конечных точек края, подставив карандаш так, чтобы его острие касалось какой-нибудь произвольной промежуточной точки края. Если этот контакт не нарушился бы в результате вращения, то край можно было бы считать прямым (фиг. 141).

Но если эти операции, первичные по отношению к интуиции постольку, поскольку они объективны (т. е. могут быть проверены кем угодно), подвергнуть критическому анализу, то мы увидим, что и они не позволяют особенно продвинуться в вопросе об абсолютной прямизне. В первом способе, очевидно, заведомо предполагается, что луч света распространяется по прямой. А как доказать, что это верно? Во втором способе

предполагается, что точки, относительно которых поворачивается линейка, и точка, фиксированная острием карандаша, связаны между собой жестко и линейка тоже жесткая. Пусть, например, мы хотим проверить прямизну стержня с круглым сечением, который лежит в горизонтальном положении и слегка изгибается под собственной тяжестью; этот изгиб остался бы неизменным при повороте и, таким образом, метод контакта с острием карандаша обнаружил бы прямизну там, где в действительности имеется искривление. Бесполезно возражать, что эти источники ошибок существуют в каждом физическом измерении и опытный экспериментатор умеет их избегать. Сейчас наша цель — доказать, что прямизну или всякое другое геометрическое свойство невозможно подтвердить прямыми эмпирическими методами, и они имеют смысл лишь относительно определенных геометрических свойств прибора, используемого при измерении (прямизны луча света, жесткости частей прибора).

Фиг. 140. Проверка прямизны ребра линейки с помощью светового луча.

Фиг. 141. Проверка прямизны ребра линейки путем вращения.

Если ограничиться лишь действительно выполняемыми операциями, отбросив все дополнительные привнесения мысли, памяти или заведомых знаний, то не останется ничего, кроме обнаружения того факта, что если луч света касается двух крайних точек линейки, то он касается и той или иной другой точки края, или что если две точки линейки совпадают с двумя точками тела, то совпадение имеется в той или иной третьей точке. Таким образом, действительно доказываются лишь совпадения в пространстве или, скорее, в пространстве-времени — совпадение двух заранее выбранных материальных точек в один и тот же момент времени в одной и той же точке пространства. Все остальное — домысел, даже такое простое утверждение, что прямизна линейки может быть определена подобного рода опытами по совпадению.

Критический анализ точной науки учит нас, что все наши наблюдения сводятся, в конце концов, к таким совпадениям. Каждое измерение утверждает, что указатель, или выделенная точка, совпадает с тем или иным делением линейки одновременно с совпадением стрелок часов с какими-то делениями их циферблата. Независимо от того, касается ли измерение длин, времен, сил, масс, электрических токов, химического сродства

или чего бы то ни было еще, фактическое содержание наблюдений состоит лишь из пространственно-временных совпадений. На языке Минковского, это — мировые точки, выделенные в пространственно-временном многообразии пересечением в них мировых линий материи. Физика представляет собой доктрину о взаимосвязи между такими выделенными мировыми точками.

Математическая теория представляет собой логическое оформление этих соотношений. Какой бы сложной она ни была, ее конечной целью всегда остается представление действительно наблюдаемых совпадений как логических следствий определенных фундаментальных предположений и принципов. Некоторые из утверждений относительно совпадений приобрели форму геометрических теорем. Геометрия как доктрина, применимая к реальному миру, не может занимать никакого преимущественного положения над другими областями физической науки. Геометрические понятия точно таким же образом зависят от действительного поведения естественных объектов, как и понятия других областей физики. Мы не можем поставить геометрию в особое положение.

Тот факт, что евклидова геометрия до какого-то времени ставилась выше физики, был вызван лишь тем обстоятельством, что существуют световые лучи, ведущие себя с высокой степенью точности как прямые линии принципиальной схемы евклидовой геометрии, и что существуют приближенно жесткие тела, удовлетворяющие с большой точностью евклидовым аксиомам конгруентности. Утверждение о том, что геометрия точно справедлива, не может претендовать на какой-либо смысл с физической точки зрения.

Таким образом, объекты геометрии, фактически применяемые к миру вещей, есть сами эти вещи, рассматриваемые с определенной точки зрения. Прямая линия, по определению, есть луч света или инерциальная траектория, или общее множество точек тела, рассматриваемого как жесткое, которые не смещаются при повороте тела относительно двух фиксированных точек, или какое-либо другое физическое нечто. Имеет или не имеет определенная таким образом прямая линия те свойства, которые ей приписывает геометрия Евклида, можно установить лишь из опыта. Примером такого свойства евклидовой геометрии может служить теорема о сумме углов треугольника, эмпирическую проверку которой осуществил Гаусс. Мы должны признать, что такие эксперименты глубоко оправданы. Другое характерное свойство двумерной геометрии было дано нами как автоматическое смыкание проволочного шестиугольника (стр. 317). Только опыт может убедить нас, действительно ли располагают требуемыми свойствами конкретные физические объекты, выбранные в качестве образцов прямой линии.

единицы длины и т. д., или нет. В первом случае евклидова геометрия применима на базе этих определений, во втором — нет.

Так вот, Эйнштейн утверждает, что все предыдущие определения фундаментальных свойств пространственно-временного континуума с помощью жестких измерительных линеек, часов, лучей света или инерциальных траекторий, несомненно, подчиняются законам евклидовой геометрии или соответственно законам мира Минковского в малых ограниченных областях, но не в больших. Это не было обнаружено раньше лишь вследствие малости отклонений. Возникает вопрос, как вести себя в новой ситуации. Очевидно, существуют два пути: либо отказаться определять прямую линию с помощью луча света, длину с помощью жесткой линейки и т. д. и искать другие реализации фундаментальных понятий евклидовой геометрии, чтобы сохранить евклидову систему, выражающую логические соотношения между этими понятиями, либо отказаться от самой евклидовой геометрии и направить усилия на установление более общей доктрины пространства.

Всякому не чуждому науке человеку ясно, что первый путь едва ли заслуживает серьезного размышления. Тем не менее нельзя доказать, что такой план невозможно осуществить. В таких вопросах решает не логика, а научный опыт и такт. Не существует логического пути от факта к теории. Здесь источником творческих достижений, как и везде, являются одновременно и сила воображения, и интуиция, и фантазия, а критерием правильности служит способность предсказывать явления, которые еще не исследованы или не открыты. Пусть читатель всерьез попробует представить себе, что луч света в пустом космическом пространстве не «самая прямая» из существующих линий, и затем выведет все следствия этой гипотезы. Тогда он поймет, почему Эйнштейн выбрал другой путь.

Поскольку евклидова геометрия потерпела провал, Эйнштейн мог обратиться к какой-нибудь другой, конкретной неевклидовой геометрии. Известны системы такого рода, разработанные Лобачевским (1829 г.), Больяи (1832 г.), Риманом (1854 г.), Гельмгольцем (1866 г.) и др.; эти системы были построены главным образом с целью выяснить, являются ли определенные аксиомы Евклида логически необходимыми след-ствиями других аксиом и не возникнет ли логических противоречий, если их заменить другими. Если бы мы выбрали какую-нибудь одну неевклидову геометрию такого рода для описания физического мира, это попросту была бы замена одной беды на другую. Эйнштейн вернулся к самим физическим явлениям, именно к понятиям пространственно-временного совпадения или события, определяемого мировой точкой.