§ 8. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ НОВОЙ МЕХАНИКИ

Согласно общему принципу относительности, законы природы описываются выражениями, инвариантными относительно произвольных преобразований гауссовых координат точно так же, как геометрические свойства поверхности инвариантны

относительно произвольных преобразований криволинейных координат. Каркасом теории поверхностей служили геодезические линии. Совершенно аналогично в четырехмерном мире строятся геодезические линии (т. е. линии, вдоль которых расстояние между двумя мировыми точками оказывается наикратчайшим); в этом процессе расстояние между двумя соседними точками определяется инвариантом

Но что представляют собой геодезические линии? В тех областях, которые свободны от гравитационных полей, и при подходящем выборе системы отсчета они, очевидно, являются прямыми линиями относительно этой системы. Но мировые линии бывают либо пространственно-подобными либо временно-подобными либо световыми линиями Если ввести другую систему гауссовых координат, те же самые мировые линии окажутся искривленными, оставаясь при этом, разумеется, геодезическими.

Отсюда следует, что геодезические линии должны точно соответствовать тем физическим явлениям, которые в обычной геометрии и механике представляются прямыми линиями, именно лучам света и движениям под действием инерции. Таким образом, мы нашли искомую формулировку обобщенного закона инерции, в котором явления инерции и гравитации объединяются в одном выражении.

Если метрические коэффициенты относительно произвольной гауссовой системы координат известны для каждой точки сетки, то геодезические линии можно получить просто с помощью вычислений. А если относительно рассматриваемой системы координат в некоторой области отсутствует гравитационное поле, то

так как в этом случае общее выражение для расстояния (98) должно сводиться к Отклонение величин от значений (99) определяет, следовательно, то состояние, которое в обычной механике мы называем гравитационным полем; когда такие отклонения имеют место, инерциальные движения становятся неравномерными и непрямолинейными — механика Ньютона считала причиной этого ньютонову силу тяготения. Десять величин таким образом, осуществляют двойную функцию: 1) они определяют метрику, единицы длины и времени; 2) они представляют гравитационное поле обычной механики. Метрическое поле и гравитационное поле — различные аспекты одной и той же сути; оба представляются десятью величинами

Итак, теория Эйнштейна представляет собой воссоединение геометрии и ифизичи, синтез законов Пифагора и Ньютона. Она достигла этого путем критического разбора понятий пространства и времени в сопоставлении со старым и надежно установленным экспериментами выводом о том, что гравитационное ускорение не зависит от массы движущегося тела.

Но новая формулировка закона инерции — это лишь первый шаг теории. Мы усмотрели в величинах средство, позволяющее математически описать геометро-механическое состояние мира относительно произвольной системы гауссовых координат. Это проливает свет на основную проблему теории. Она заключается в следующем.

Необходимо установить законы, согласно которым метрическое поле (величины может быть определено в любой точке пространственно-временного континуума относительно произвольной системы гауссовых координат.

Об этих законах нам известно пока следующее:

1. Они должны быть инвариантны относительно произвольных изменений гауссовых координат.

2. Они должны полностью определяться распределением материальных тел.

К этому следует добавить формальное условие, перешедшее к Эйнштейну из обычной ньютоновой теории гравитации. Когда мы представляем ньютонову механику в форме теории близкодействия с помощью дифференциальных уравнений, они подобно всем законам поля в физике оказываются уравнениями второго порядка. Отсюда напрашивается постулат, что новые законы гравитации, представляющие собой дифференциальные уравнения относительно величин также должны быть не выше второго порядка.

Из этих постулатов Эйнштейн успешно вывел уравнения для метрики, или для гравитационного поля. Гильберт, Клейн, Вейль, Эддингтон и другие математики объединили свои усилия в тщательном исследовании и освещении формальной структуры эйнштейновских формул. Мы не можем привести здесь эти законы и выводы, на которых они основываются, ибо это невозможно без применения высшей математики. Удовлетворимся лишь некоторыми указаниями.

Из теории поверхностей известно, что кривизна есть инвариант относительно произвольной замены гауссовых координат и что ее можно определить с помощью измерений на поверхности (способ проволочного шестиугольника). Более того, кривизна описывается дифференциальным выражением второго порядка.

Совершенно аналогичным способом можно установить инварианты четырехмерного мира, оказывающиеся прямым обобщением инварианта кривизны из теории поверхностей.

Эту операцию можно представить себе следующим образом: рассмотрим все геодезические мировые линии, которые в точке касаются двумерной поверхности, лежащей в четырехмерном мире. Эти геодезические линии сами по себе образуют каркас другой поверхности, которую можно назвать геодезической поверхностью. Так вот, если на этой поверхности построить шестиугольник так, чтобы его стороны и радиусы были одной и той же четырехмерной длины, то он в общем случае не сомкнётся; тогда геодезическую поверхность нужно считать искривленной. Если взять другую геодезическую поверхность, касающуюся точки иначе ориентированную в четырехмерном пространстве (касающуюся другой поверхности), кривизна окажется иной. Общее множество всех кривизн геодезических поверхностей, проходящих через данную точку, образует ряд независимых инвариантов. Если они равны нулю, то геодезические поверхности таковы, что в правильно выбранной системе гауссовых координат они будут плоскими. Тогда четырехмерное пространство евклидово. Отклонения инвариантов от нулевого значения, таким образом, определяют гравитационные поля и должны зависеть от распределения материальных тел. Но, согласно специальной теории относительности [гл. VI, § 8, формула (83), стр. 273], масса тела равна энергии, деленной на квадрат скорости света. Распределение материи, следовательно, определяется какими-то инвариантами, зависящими от энергии и импульса. Инварианты кривизны и полагаются пропорциональными этим инвариантам. Коэффициент пропорциональности соответствует гравитационной постоянной (гл. III, § 3, стр. 68) теории Ньютона. Определенные таким образом формулы представляют собой уравнения метрического поля. Когда пространственно-временные распределения энергии и импульса заданы, можно вычислить величины они же в свою очередь определяют движение материальных тел и распределение энергии этих тел. Вместе это образует чрезвычайно сложную систему дифференциальных уравнений. Но математическая сложность с лихвой окупается колоссальными идейными преимуществами, заключающимися в общей инвариантности системы, ибо эта инвариантность олицетворяет полную относительность всех событий. Абсолютное пространство, наконец, оказывается изгнанным из законов физики.

В терминологии теории существует одна черточка, которая чрезвычайно беспокоит нематематиков. Мы привыкли называть все инварианты трехмерного пространства, аналогичные поверхностной кривизне (или даже инварианты четырехмерного пространства), мерами кривизны. О пространственно-временных областях, в которых они отличаются от нуля, мы говорим, что они «искривлены». Человека, неискушенного в математическом языке, обычно это возмущает. Он говорит, что можно понять,

как искривляется что-то в пространстве, но представить себе искривленным само пространство — чистая бессмыслица. Но ведь никто и не требует, чтобы это можно было представлять; можно представить себе невидимый свет и неслышимые звуки? Если уже признать, что наши чувства подводят нас в таких вещах и что методы физики позволяют идти дальше, то мы должны решиться предоставить это право и учению о пространстве и времени. Ведь интуиция может охватить лишь то, что возникает в результате мыслительного процесса как объединенное действие физических, физиологических и психологических явлений и, таким образом, фактически определяется этим процессом. Физика, конечно, не отрицает, что фактическое восприятие можно интерпретировать с довольно высокой точностью, опираясь на классические законы Евклида. Отклонения, предсказываемые теорией Эйнштейна, столь малы, что лишь исключительная точность измерений, достигнутая современной физикой и астрономией, позволяет их обнаружить. Так или иначе, они перед нами, и если сумма опытных данных ведет к выводу, что пространственно-временной континуум — неевклидов, или «искривлен», то интуиция должна уступить суждению, опирающемуся на единый вывод из всех наших знаний.