§ 10. ОПТИКА ДВИЖУЩИХСЯ ТЕЛ

Теперь, когда мы уже установили наиболее важные выводы, вытекающие из измененной механики, пришло время вернуться к тем проблемам, которые послужили основным истоком эйнштейновской теории относительности, именно к оптике движущихся тел. Фундаментальные законы этих явлений сконцентрированы в максвелловских уравнениях поля. Уже Лоренц установил, что в пустом пространстве эти урэвнения инвариантны относительно лоренц-преобразования. Точные инвариантные уравнения поля для движущихся тел были сформулированы Минковским (1907 г.). Они отличаются от формул Лоренца из его теории электрона лишь малыми членами, недоступными наблюдению, но так же, как формулы Лоренца, описывают частичный перенос диэлектрической поляризации и, таким образом, удовлетворительно объясняют все электромагнитные и оптические явления, связанные с движущимися телами. Напомним, в частности, опыты Рентгена, Эйхенвальда и Вильсона (см. гл. V, § 11, стр. 190—195) (хотя мы и не будем рассматривать их более подробно, так как это потребовало бы трудоемких математических вычислений). Но оптику движущихся тел можно рассмотреть совершенно элементарным способом, поэтому мы опишем ее здесь, поскольку она представляет собой одно из наиболее наглядных приложений теории Эйнштейна.

Согласно теории относительности, эфира не существует; существует лишь движение тел относительно друг друга. Отсюда самоочевидно, что оптические явления, происходящие так, что источник света, среда, в которой распространяется излучение, и наблюдатель покоятся в одной из инерциальных систем, остаются неизменными во всех других инерциальных системах. Тем самым объясняется и опыт Майкельсона — Морли. Вопрос теперь заключается в следующем: описывает ли теория правильно такие явления, при которых источник света, среда,

в которой распространяется излучение, и наблюдатель находятся в относительном движении.

Представим себе световую волну в материальном теле, покоящемся по отношению к системе отсчета Пусть скорость световой волны равна показатель преломления), ее волновое число равно а направление относительно системы совпадает с осью Выясним, каковы эти характеристики волны с точки зрения наблюдателя, покоящегося в системе отсчета 5, которая движется со скоростью параллельно оси системы

Отвечая на этот вопрос, мы будем пользоваться тем же методом, который применяли раньше (гл. V, § 7, стр. 119), с тем исключением, что теперь за основу своих рассуждений мы возьмем не преобразование Галилея, а преобразование Лоренца. Раньше мы показали, что число волн

представляет собой инвариант, ибо оно означает число волн, которые достигли точки до момента времени и покинули точку после момента времени (фиг. 69, стр. 119). Эта инвариантность сохраняется, конечно, и в случае преобразования Лоренца. Мы имеем

где частоты и скорости световой волны относительно систем Если справа подставить выражения для согласно преобразованию Лоренца (70а) (стр. 230), то мы получим

где

Рассмотрим теперь весь пакет волн в один и тот же момент времени, т. е. положим Разделив на имеем

Во-вторых, рассмотрим волны, проходящие через одну и ту же пространственную точку Сократив на получим

Разделив теперь второе равенство на первое, найдем

Это выражение точно согласуется с эйнштейновской теоремой сложения скоростей для продольного движения [формула (77а), стр. 259], если в ней заменить их на а их на То же правило, которое выполняется для вычисления скоростей материальных тел относительно различных систем отсчета, применимо и к скорости света.

Если, наоборот, разрешить наше соотношение относительно то мы получим формулу увлечения

Если пренебречь членами более высокого порядка по чем второй, то эта формула совпадает с формулой увлечения Френеля [44] (стр. 134). Действительно, в этом приближении можно записать

Таким образом,

отбрасывая последний член второго порядка и полагая

получаем

Это как раз и есть формула увлечения Френеля,

Формула (956) представляет собой формулировку принципа Доплера. Обычно ее применяют к вакууму, так что тогда, как мы знаем, из теоремы сложения скоростей (стр. 259) вытекает, что При этом формула (956) дает

Но следовательно, можно записать

Таким образом, строгая формула доплер-эффекта приобретает симметричный вид

иллюстрирующий эквивалентность систем отсчета

В случае малых мы получаем обычную формулу (41) для доплер-эффекта, пренебрегая в формуле (95в):

Формулу (96) можно получить и исходя из представлений о квантах света с энергией

и импульсом

При подстановке в формулу (91) результат получается идентичным формуле (96).

Для больших скоростей релятивистская формула (96) отличается от классической (41). Это отличие выступает еще более отчетливо в случае, когда направления распространения световой волны и относительной скорости двух систем отсчета не совпадают, в частности, когда они перпендикулярны друг другу. Согласно классической теории, в этом случае эффекта Доплера не должно существовать вообще, тогда как в релятивистской теории он существует. Поэтому можно говорить о новом релятивистском эффекте, который часто называют поперечным доплер-эффектом. Его можно толковать таким же образом, каки обычный продольный эффект.

Предположим, как и раньше, что относительная скорость систем направлена параллельно совпадающим осям но направление распространения световой волны уже

перпендикулярно этим осям, скажем параллельно оси у. Однако считать, что нормаль к фронту световой волны в системе параллельна оси у, уже недопустимо.

Расстояние от начала пакета световых волн в момент до его конца в момент при наблюдении в системе в системе оно будет равно не просто но будет также зависеть от скажем, будет равно Инвариантность фазы при этом задается как

Теперь нужно применить преобразование Лоренца (70а) или (706). Если воспользоваться формулой (706) и положить в ней выражая тот факт, что опыт выполняется в фиксированной точке в системе то вычисления усложняются, так как при этом необходимо знать величину а. Но если пользоваться формулой (70а), полагая в ней то мы без труда получаем

Наблюдатель, движущийся относительно системы со скоростью рассматривая источник света с частотой в системе измерит измененную частоту

которая меньше Это и есть поперечный доплер-эффект. Как следует из самого его вывода, поперечный доплер-эффект тесно связан с замедлением времени

он означает попросту, что число тиканий часов одинаково для всех наблюдателей.

Поперечный доплер-эффект удалось наблюдать в лаборатории с помощью каналовых лучей (гл. IV, § 8, стр. 126), скорость и направление которых были очень точно известны (Ивс и Стилвелл, 1938 г.; Оттинг, 1939 г.). Сложность этих измерений состоит в том, что если направление наблюдения несколько отклоняется от перпендикуляра к направлению распространения каналовых лучей, то в результате замера будет давать вклад и обычный продольный доплер-эффект. Эту трудность удалось преодолеть, заметив, что смещения, соответствующие продольному доплер-эффекту, для двух световых лучей, излучаемых

каналовыми лучами в противоположные стороны, противоположны и равны по величине; если наблюдать оба луча света одновременно и брать среднее из двух результатов, то продольный эффект оказывается исключенным. Так было подтверждено существование поперечного доплер-эффекта, а тем самым получено довольно прямое доказательство замедления времени.

Перейдем теперь к аберрации света. Мы можем применить только что использованный метод: выяснить влияние преобразования Лоренца на направление светового луча (т. е. на значения определенных выше коэффициентов Однако этот метод приводит к несколько усложненным вычислениям, и мы предпочтем другой, именно применим к световым квантам теорему сложения скоростей.

Луч света распространяется в направлении оси у системы так что с. Формулы преобразования (70а) и (706) дают для скоростей в системе

Таким образом, в системе направление светового луча не перпендикулярно оси а наклонно к ней. Убедимся сначала, что скорость светового луча в системе 5 также равна с: действительно, имеем

Отношение компонент скорости соответствует элементарному определению константы аберрации (фиг. 132). Здесь длина телескопа и смещение телескопа за промежуток времени, затраченный светом на путь в трубе телескопа (гл. V, § 3). Итак, имеем

Другой способ вывода формулы аберрации состоит в том, чтобы, исходя из представления о световом кванте, применить формулы преобразования (88а) и (886) к компонентам импульса и энергии. Запишем эти формулы с обычным сокращением

В предположении, что квант света движется в направлении оси у системы компоненты его импульса в системе равны

следовательно, в системе

Таким образом,

что согласуется с выражением для приведенным выше. По Планку энергия кванта света равна в системе 5 и в системе

Фиг. 132. Аберрация в теории относительности. Чтобы компоненты скорости были положительны, мы взяли перевернутую систему координат. С точки зрения системы которая движется со скоростью относительно Земли и в которой неподвижная звезда находится в состоянии покоя, свет распространяется в направлении у. В системе в которой Земля покоится, мы получаем две компоненты скорости

Если принять за систему , в которой излучающие свет атомы покоятся, то и соотношение эквивалентно соотношению Тем самым мы получили другой вывод поперечного доплер-эффекта.

Элементарная формула аберрации вытекает из точной формулы, если пренебречь

Этот результат особенно замечателен в свете того факта, что все теории, опирающиеся на представление об эфире,

испытывали серьезные трудности при попытках объяснить аберрацию. Из преобразования Галилея вообще не следует отклонений фронта и направления распространения волны (гл. IV, § 10, стр. 139); для объяснения аберрации приходится ввести понятие «луча», который в случае движущихся систем не обязательно должен совпадать с направлением распространения луча. В теории Эйнштейна эта трудность исчезает. В любой инерциальной системе S направление луча (т. е. направление, вдоль которого передается энергия) совпадает с нормалью к фронту волны, и аберрация следует так же, как доплер-эффект и коэффициент увлечения Френеля, из понятия волны в результате применения преобразования Лоренца.

Этот способ вывода фундаментальных законов оптики движущихся тел ярко иллюстрирует превосходство теории Эйнштейна над всеми другими теориями.