§ 7. ЭЙНШТЕЙНОВСКАЯ ДИНАМИКА

Механика Галилея и Ньютона неразрывно связана со старой кинематикой. В частности, сам классический принцип относительности базируется на том факте, что изменение скорости — ускорение — инвариантно относительно преобразования Галилея.

Но не можем же мы пользоваться одной кинематикой для одной группы физических явлений, а другой — для другой группы, требуя инвариантности относительно преобразования Галилея для механики и инвариантности относительно преобразования Лоренца для электродинамики.

Мы знаем, однако, что первое преобразование представляет собой предельный случай второго, именно случай, в котором

постоянная с бесконечно велика. Соответственно, следуя Эйнштейну, мы будем предполагать, что классическая механика не строго справедлива, но, вернее, требует некоторой модификации. Законы новой механики должны оказаться инвариантными относительно преобразований Лоренца.

Чтобы установить эти законы, мы должны выяснить, какие фундаментальные законы классической механики следует сохранить, а какие отбросить или модифицировать. Фундаментальный закон динамики, с которого мы начинали, — закон импульсов, выражаемый формулой (7) (гл. II, § 9, стр. 41):

Очевидно, этот закон нельзя просто оставить в той же форме. В самом деле, в классической механике изменение скорости имеет одно и то же значение во всех инерциальных системах (см. гл. III, § 5, стр. 72), что в нашем случае неверно вследствие эйнштейновской теоремы сложения скоростей (77). Итак, формула (7) не имеет смысла до тех пор, пока не указаны конкретные правила преобразования импульса при переходе от одной системы отсчета к другой; поэтому едва ли было бы рационально начинать с формулы (7) и выводить новый фундаментальный закон путем обобщения ее.

Однако мы, бесспорно, можем начать с закона сохранения импульса [гл. II, § 9, стр. 42, формула (9)]. Этот закон относится к полному импульсу, переносимому двумя телами, и утверждает, что, когда два тела сталкиваются, их полный импульс (количество движения) остается неизменным независимо от того, как перераспределяются их скорости в процессе столкновения. Тем самым формулировка закона связана только с двумя действующими друг на друга телами, испытывающими взаимное столкновение без каких-либо внешних влияний; поэтому она не зависит ни от каких обстоятельств, связанных с каким-нибудь третьим телом или системой координат. В соответствии с этими соображениями мы будем утверждать, что закон сохранения импульса остается справедливым и в новой динамике.

Последнее, разумеется, невозможно, как мы сейчас увидим, если сохранить права за аксиомой классической механики о том, что масса есть постоянная величина, присущая каждому телу. Поэтому мы с самого начала будем предполагать, что масса одного и того же тела есть относительная величина. Она должна иметь различные значения в зависимости от выбора системы отсчета, в которой проводится ее измерение, или — при измерении в одной и той же системе отсчета — в зависимости от скорости движущегося тела. Ясно, что масса относительно определенной системы отсчета может зависеть только от величины

скорости движущегося тела относительно этой системы, но не от направления скорости.

Чтобы вывести неизвестную зависимость массы тела от его скорости и, мы обратимся к весьма специальному примеру; «неупругому» столкновению двух движущихся тел.

Фиг. 126. Неупругие соударения, а — деревянный брусок (с массой висит в своем равновесном положении на длинной ннтн, подобно маятнику. Револьверная пуля (с массой движущаяся после выстрела с высокой скоростью и, попадает в брусок и застревает в нем. Брусок и пуля вместе приобретают скорость , которая гораздо меньше и, если гораздо больше и поэтому может быть легко измерена по наблюдениям колебаний маятника. столкновение двух одинаковых шариков, слипающихся после соприкосновения. Левый шарик до столкновения движется со скоростью и; общая скорость после столкновения равна в — то же столкновение, что и на фиг. 126,б, но при наблюдении в системе двужущейся с той же скоростью и, что и левый шарик на фиг. 126,в. В этой системе покоится левый шарик, а правый движется со скоростью общая скорость после столкновения равна — .

«Неупругий» означает, что два тела «слипаются» после столкновения. Примером такого столкновения может служить револьверная пуля попадающая в деревянный брусок после столкновения пуля и брусок приобретают одну и ту же скорость и в дальнейшем движутся с этой скоростью (фиг. 126, а).

Рассмотрим задачу сначала с точки зрения ньютоновской механики, исходя из закона сохранения импульса. До столкновения скорость пули можно считать равной и, а скорость бруска равной нулю; пусть общая скорость двух тел после столкновения равна Тогда полные импульсы до и после

столкновения равны

до столкновения

после столкновения .

Закон сохранения импульса требует, чтобы эти две величины были равны:

Это уравнение позволяет вычислить скорость пули и по скорости И после столкновения. Такой способ в самом деле использовался для определения скоростей пуль изобретения высокоскоростной фотографии и других современных методов): ведь скорость значительно меньше, чем и, когда гораздо больше и ее сравнительно нетрудно измерить.

Ради простоты будем теперь считать, что оба тела совершенно одинаковы, (например, два восковых шарика). Тогда Мы можем упомянуть, что механическая энергия не сохраняется в этом случае. Кинетическая энергия равна

до столкновения

после столкновения .

Разность этих двух энергий

при столкновении превращается в тепло. Это анализ с точки зрения классической механики.

Рассмотрим теперь два одинаковых шара согласно релятивистской механике, в которой учитывается возможная зависимость массы от скорости. Это обстоятельство мы будем отмечать, записывая Для того же самого опыта (изображенного на фиг. 126,б) закон сохранения импульса Теперь можно записать как

В уравнении мы использовали более общее представление: — для массы после столкновения, поскольку тот факт, что точно вдвое больше совсем не самоочевиден. На самом деле, мы увидим ниже, что не равно

Выведем теперь соотношение между . Записанное выше уравнение сформулировано в системе (фиг. 126,б), в которой левый шар движется со скоростью , а правый — покоится.

Рассмотрим тот же процесс столкновения в другой системе движущейся относительно системы со скоростью . В нашей новой системе покоится уже левый шар, а правый движется со скоростью — и. Это легко видеть из уравнения (77а): скорость и становится равной 0, а скорость, равная О, Становится равной — и. Как можно заметить из фиг. 126, в, картина столкновения в системе совершенно симметрична по виду с картиной столкновения в системе Отсюда можно заключить, что общая скорость после столкновения должна быть равна — .

Фиг. 127, Столкновение двух шаров (фиг. 126,б) при наблюдении в системе отсчета, в которой оба шара имеют одинаковую до» бавочную компоненту скорости а, перпендикулярную скоростям

Но мы можем выразить эту скорость с помощью формулы (77а), положив . Тогда

или, разрешая это уравнение относительно и,

сравнение показывает, что в классической Механике [т. е. в классическом пределе как мы и утверждали выше,

Теперь запишем еще одно соотношение

которое можно назвать законом сохранения массы. Его нетрудно доказать, добавив к и или к малую перпендикулярную составляющую скорости и применяя закон сохранения импульса к -компоненте (фиг. 127). Для этого введем систему отсчета которая движется в направлении оси у относительно

исходной системы со скоростью Мы можем применить в этом случае формулы (77а) и (776) с тем изменением, что направления х и у меняются ролями:

Поскольку в системе скорости сталкивающихся шаров и скорость образуемого ими тела направлены вдоль оси в обоих этих случаях поэтому последнее уравнение сводится просто к

Когда компоненты скорости имеют величины в системе

эти величины в системе равны соответственно:

Но массы зависят только от абсолютных величин скоростей, т. е. от Следовательно, в проекции на ось у закон сохранения импульса в системе имеет вид

разделив на получим

Это уравнение должно быть справедливо при любых значениях . В частности, при мы получаем уравнение Уравнение представляет собой общий вид закона сохранения массы в случае произвольных скоростей, тогда как уравнение частный случай, который мы сейчас и используем при выводе зависимости массы от скорости.

Заменяя в уравнении на согласно уравнению находим

или

С помощью получаем окончательно

Таким образом, мы выяснили, как масса зависит от скорости. Массу называют массой покоя тела, т. е. массой, измеренной в системе, где тело находится в состоянии покоя. В классической механике представление о массе ограничивается лишь этим предельным случаем.

Импульс тела, движущегося со скоростью равен

и представляет собой функцию скорости тела, где обозначает массу.

Теперь мы можем перейти к законам движения в случае сил, действующих непрерывно. При этом мы должны использовать формулировки классической механики (гл. II, § 10, стр. 43), которые базируются на представлении об импульсах, переносимых движущимися телами. Эти формулировки можно непосредственно перенести в новую динамику, но законы для продольной и поперечной компонент скорости следует формулировать раздельно.

Сила К вызывает изменение импульса, такое, что изменение продольной (или равносильно поперечной) компоненты импульса в единицу времени равно соответствующей компоненте силы.

Фиг. 128. Добавление к скорости о, первоначально направленной вдоль оси малых составляющих Результирующая скорость равна

Теперь уже без труда можно составить уравнение движения. Импульсу тела в момент времени можно приписатькомпоненты его скорость в направлении в момент времени считать равной Далее, пусть сила, компоненты которой равны действует в течение короткого времени под ее действием компоненты импульса изменятся и станут равными Математическое - выражение этого обстоятельства имеет следующий вид:

Сила вызывает малые приращения компонент скорости (фиг. 128); результирующая скорость равна Таким образом, мы имеем в

Поскольку малы, можно аппроксимировать пренебрегая квадратами этих малых величин:

(мы использовали приближенное равенство что верно при малых Таким образом, находим

Квадратный корень в знаменателе можно записать как

а если пренебречь величиной и ввести сокращенную запись

то это выражение переходит в следующее:

в соответствии с приближенной формулой, использованной выше. Учитывая, что в том же приближении

получаем

Это выражение нужно подставить в формулы закона сохранения компонент импульса. Левая часть этого закона в проекции на ось теперь (в принятом приближении) имеет вид

соответственно в проекции на ось у —

где мы пренебрегли членами и как малыми. Таким образом, мы приходим к результату

Введя теперь компоненты ускорения

получаем для компонент силы выражения

Соотношение между силой и ускорением, вызываемым этой силой, оказывается, таким образом, различным в зависимости от того, действует ли сила в направлении уже существующей скорости или в направлении, перпендикулярном к нему.

В первые годы теории относительности было общепринятым придавать этим формулам вид, в котором они напоминали бы фундаментальный закон классической механики [гл. II, § 10, стр. 43, формула (10)] в той мере, в какой это возможно. С этой целью вводятся обозначения

эти величины называют продольной и поперечной массами. Последняя идентична величине которую называют просто релятивистской массой в формуле (78).

В этих Обозначениях вместо формулы (80) мы можем записать

что согласуется по форме с фундаментальным классическим законом.

Во избежание недоразумений мы будем пользоваться в тексте только релятивистской массой

Тем не менее мы видим, насколько необходимо с самого начала определить понятие массы исключительно в терминах инер-циального сопротивления. В противном случае было бы невозможно использовать это понятие в релятивистской механике, поскольку в случаях продольной и поперечной сил в выражение для полного переносимого импульса входят различные выражения «массы»; более того, эти массы не являются характеристическими константами тела, но зависят от его скорости.

Таким образом, понятие массы в эйнштейновской динамике резко отличается от привычного нам представления, согласно которому масса в известной мере представляет собой количество материи. В определенном смысле масса покоя представляет собой меру эйнштейновской массы, но опять-таки в отличие от массы в обычной механике масса покоя в произвольной системе отсчета не равна отношению импульса к скорости или силы к ускорению.

Взглянув на формулу (78), мысразу замечаем, что величина релятивистской массы становится все больше по мере того, как скорость движущегося тела приближается к скорости света. Для масса становится бесконечно большой.

Отсюда следует, что с помощью сил невозможно заставить двигаться тело со скоростью, превышающей скорость света: его инерциальное сопротивление растет до бесконечности и, таким образом, не позволяет его скорости приближаться к скорости света.

Здесь мы начинаем видеть, как теория Эйнштейна замыкается в гармоничное целое. Казалось, почти парадоксальное предположение о том, что существует предельная скорость, которую невозможно превысить, оказывается необходимым требованием, вытекающим из физических законов в их новом виде.

Формула (78), определяющая зависимость массы от скорости, совпадает с той, которую уже установил Лоренц из электродинамических расчетов для своего сплющивающегося электрона. В его формулах то выражалась через электростатическую энергию стационарного электрона точно так же, как в теории Абрагама [гл. V, § 13, стр. 206, формула (69)], именно

Теперь ясно, что формула Лоренца для зависимости массы от скорости имеет гораздо более общий смысл, чем это казалось поначалу. Она должна выполняться для любого вида массы безотносительно к тому, какого происхождения эта масса — электродинамическая или какая-либо иная.

Опыты Кауфмана (1901 г.) и других по отклонению катодных лучей в электрических и магнитных полях с высокой

точностью доказали, что масса электронов возрастает со скоростью в соответствии с формулой Лоренца (78). С другой стороны, эти измерения уже нельзя рассматривать как подтверждение предположения, что все массы — электромагнитного происхождения. Действительно, теория относительности Эйнштейна доказывает, что масса как таковая, безотносительно к ее происхождению, должна зависеть от скорости и эта зависимость должна иметь определяемый формулой Лоренца вид.

Другим подтверждением формулы (78) послужили спектрографические эксперименты. Атом состоит из тяжелого, положительно заряженного ядра, окруженного группой электронов так, что в целом атом оказывается электрически нейтральным. Спектроскопия изучает взаимодействия таких электронов со светом. Движение электронов определяется законами классической механики. Поскольку спектроскопические измерения чрезвычайно точны, нетрудно обнаружить отклонения от классической динамики, изучая движение электронов. Результаты этого изучений полностью подтвердили справедливость динамики Эйнштейна.