§ 2. НЬЮТОНОВСКИЙ ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ

Ньютон успешно построил динамическую теорию планетных орбит или, как мы теперь говорим, заложил основы небесной механики. Для осуществления этого необходимо было применить понятие силы Галилея к движению звезд. Но закон, по которому небесные тела действуют друг на друга, Ньютон открыл, не выдвигая какую-то смелую гипотезу, а следуя систематическому и строгому методу анализа всех известных фактов о движении планет. Эти факты были выражены тремя законами Кеплера, которые позволили уложить все наблюдения того времени в чрезвычайно последовательные формулировки. Теперь мы должны полностью сформулировать законы Кеплера. Эти законы следующие:

1. Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце (фиг. 33).

2. Радиус-вектор, проведенный от Солнца к планете, покрывает равные площади в равные промежутки времени.

3. Кубы больших полуосей эллипсов пропорциональны квадратам периодов обращения.

Фиг. 33. Траектория планеты вокруг Солнца представляет собой эллипс; Солнце расположено в одном из его фокусов.

Однако фундаментальный закон механики дает соотношение между ускорением любого движения и силой К, которая вызывает это движение. Ускорение полностью определяется параметрами движения, и если они известны, то К можно вычислить. Ньютон установил, что орбиты, определенные согласно законам Кеплера, вполне достаточны для вычисления Тогда закон

позволяет вычислить действующую на движущееся тело силу.

Математические возможности того времени не могли позволить Ньютону выполнить этот план. Однако он уже овладел математическим инструментом, необходимым для этой цели, — дифференциальным и интегральным исчислением, к которому почти одновременно с ним пришел Лейбниц (1684 г.). Этот аппарат и сегодня" представляет собой основу современной математики. В своем фундаментальном труде Philosophiae Naturalis Principia Mathematical) Ньютон, однако, отказался от этих

новых методов и изложил вопрос на основе общепринятых классических геометрических приемов.

Мы будем следовать изложению Ньютона, но, чтобы проиллюстрировать его общие выводы, ограничимся лишь простым примером.

Орбиты планет представляют собой эллипсы с малым эксцентриситетом, т. е. почти окружности. Допустимо предположить, что планеты приближенно описывают окружности вокруг Солнца, как и полагал, собственно, Коперник. Поскольку окружность есть частный случай эллипса, это предположение, несомненно, удовлетворяет первому закону Кеплера.

Второй закон теперь означает, что каждая планета движется вдоль окружности с постоянной скоростью. Мы уже знаем (гл. II, § 4), каково ускорение в таком круговом движении. Оно направлено к центру, и, согласно формуле (4), его величина равна

где скорость на орбите, радиус окружности.

Итак, если период обращения, то скорость определяется как отношение длины окружности к периоду обращения Т:

так что

Рассмотрим теперь третий закон Кеплера, который в случае круговой орбиты, очевидно, означает, что отношение куба радиуса к квадрату времени обращения имеет одно и то же значение С для всех планет:

Если подставить это выражение в формулу для то получим

Следовательно, величина центростремительного ускорения зависит только от расстояния между планетой и Солнцем, будучи обратно пропорциональной квадрату расстояния до Солнца. Но она совершенно не зависит от свойств планеты, таких, как масса, поскольку величина С, согласно третьему закону Кеплера, одна и та же для всех планет и поэтому может зависеть самое большее от природы Солнца, но не от свойств планет.

Замечательно, что этот же закон вытекает и из предположения, что орбиты имеют форму эллипсов (вычисления, правда, становятся гораздо сложнее). Ускорение остается всегда направленным к Солнцу, расположенному в одном из фокусов эллипса, и имеет значение, определяемое формулой (20), где расстояние вдоль радиус-вектора (см. фиг. 33).