Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 2. НЬЮТОНОВСКИЙ ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯНьютон успешно построил динамическую теорию планетных орбит или, как мы теперь говорим, заложил основы небесной механики. Для осуществления этого необходимо было применить понятие силы Галилея к движению звезд. Но закон, по которому небесные тела действуют друг на друга, Ньютон открыл, не выдвигая какую-то смелую гипотезу, а следуя систематическому и строгому методу анализа всех известных фактов о движении планет. Эти факты были выражены тремя законами Кеплера, которые позволили уложить все наблюдения того времени в чрезвычайно последовательные формулировки. Теперь мы должны полностью сформулировать законы Кеплера. Эти законы следующие: 1. Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце (фиг. 33). 2. Радиус-вектор, проведенный от Солнца к планете, покрывает равные площади в равные промежутки времени. 3. Кубы больших полуосей эллипсов пропорциональны квадратам периодов обращения.
Фиг. 33. Траектория планеты вокруг Солнца представляет собой эллипс; Солнце расположено в одном из его фокусов. Однако фундаментальный закон механики дает соотношение между ускорением
позволяет вычислить действующую на движущееся тело силу. Математические возможности того времени не могли позволить Ньютону выполнить этот план. Однако он уже овладел математическим инструментом, необходимым для этой цели, — дифференциальным и интегральным исчислением, к которому почти одновременно с ним пришел Лейбниц (1684 г.). Этот аппарат и сегодня" представляет собой основу современной математики. В своем фундаментальном труде Philosophiae Naturalis Principia Mathematical) Ньютон, однако, отказался от этих новых методов и изложил вопрос на основе общепринятых классических геометрических приемов. Мы будем следовать изложению Ньютона, но, чтобы проиллюстрировать его общие выводы, ограничимся лишь простым примером. Орбиты планет представляют собой эллипсы с малым эксцентриситетом, т. е. почти окружности. Допустимо предположить, что планеты приближенно описывают окружности вокруг Солнца, как и полагал, собственно, Коперник. Поскольку окружность есть частный случай эллипса, это предположение, несомненно, удовлетворяет первому закону Кеплера. Второй закон теперь означает, что каждая планета движется вдоль окружности с постоянной скоростью. Мы уже знаем (гл. II, § 4), каково ускорение в таком круговом движении. Оно направлено к центру, и, согласно формуле (4), его величина равна
где Итак, если
так что
Рассмотрим теперь третий закон Кеплера, который в случае круговой орбиты, очевидно, означает, что отношение куба радиуса
Если подставить это выражение в формулу для
Следовательно, величина центростремительного ускорения зависит только от расстояния между планетой и Солнцем, будучи обратно пропорциональной квадрату расстояния до Солнца. Но она совершенно не зависит от свойств планеты, таких, как масса, поскольку величина С, согласно третьему закону Кеплера, одна и та же для всех планет и поэтому может зависеть самое большее от природы Солнца, но не от свойств планет. Замечательно, что этот же закон вытекает и из предположения, что орбиты имеют форму эллипсов (вычисления, правда, становятся гораздо сложнее). Ускорение остается всегда направленным к Солнцу, расположенному в одном из фокусов эллипса, и имеет значение, определяемое формулой (20), где
|
1 |
Оглавление
|