§ 13. АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Задача аналитической механики состоит в том, чтобы, исходя из закона движения

описать движение, когда силы К заданы. Сама по себе вышеприведенная формула дает только ускорение, т. е. изменение скорости. Проблема вычисления на основании этой формулы скорости, а затем изменяющегося положения точки требует применения интегрального исчисления и может быть очень сложной, если сила изменяется сложным образом в зависимости от координат в пространстве и От времени. В суть задачи можно вникнуть, исходя из приведенных нами рассуждений об изменении положения движущегося тела при равномерно ускоренном движении вдоль прямой линии (стр. 28—30). Когда движение происходит в плоскости и обусловлено действием постоянной силы, имеющей определенное направление, как, например, в случае падающего или брошенного тела, оно становится более сложным. В этом случае мы также можем заменить в качестве приближения траекторию истинного движения фиктивной ломаной кривой, состоящей из ряда равномерных движений, каждое из которых переходит в следующее за ним вследствие некоторого удара (импульса силы). Обратимся к нашему горизонтальному столу, по которому катится шар; будем сообщать шару

импульсы постоянной величины и направления через короткие интервалы времени Если шар начинает движение из точки О с произвольной начальной скоростью, то через время он достигает точки где и получает первый импульс. Начиная с этой точки, шар продолжает движение уже в другом направлении с отличной скоростью в течение времени до тех пор, пока в точке 2 он не получает второй импульс, который вновь отклоняет его движение от предыдущего, и т. д.

Фиг. 27. Движение шара по столу. В точках шар испытывает удары одной и той же силы, вызывающей изменение скорости

Каждое отдельное отклонение можно вычислить на основании закона импульса силы. В соответствии с этим законом мы можем изобразить всю картину движения; из этой картины видно, что начальное положение, начальное направление и начальная скорость полностью определяют всю последующую картину движения. Это «прыгающее» движение дает грубое представление о движении шара по гладкой плоскости. Полученная ломаная будет все более приближаться к истинной непрерывной траектории по мере того, как интервалы времени между последовательными ударами будут все короче.

Наше приближенное построение можно в случае непрерывно действующих сил заменить строгим анализом на базе интегрального исчисления. В этом случае начальная точка, величина и направление начальной скорости остаются также совершенно произвольными. Но как только они заданы, вся дальнейшая картина движения оказывается однозначно определенной. Так сила, изменяющаяся по одному и тому же закону, может производить бесконечное множество движений в зависимости от выбора начальных условий; огромное количество движений падающих или брошенных тел зависит от силы, изменяющейся по одному и тому же закону (эта сила — сила гравитации, действующая по направлению вертикально вниз).

В задачах механики мы обычно имеем дело с движением не одного, а нескольких тел, которые действуют посредством сил друг на друга. Силы сами по себе заданы не априорно, а зависят в свою очередь от неизвестного движения. Ясно, что задача определения движений нескольких тел при помощи вычислений становится чрезвычайно сложной.