§ 2. КИНЕМАТИКА ЭЙНШТЕЙНА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА

Повторим еще раз гипотезы кинематики Эйнштейна:

1. Принцип относительности. Существует бесконечное число систем отсчета (инерциальных систем), движущихся равномерно и прямолинейно относительно друг друга, в которых все физические законы имеют простейший вид (первоначально выведенный на основе понятия абсолютного пространства или неподвижного эфира).

2. Принцип постоянства скорости света. Во всех инерциальных системах скорость света имеет одно и то же значение, если ее измерять при помощи линеек и часов одного и того же типа.

Наша задача состоит в том, чтобы вывести соотношение между длинами и временами в различных инерциальных системах. При этом мы вновь ограничимся движениями, параллельными определенному направлению в пространстве — направлению оси

Мы будем пользоваться двумя способами. В первом способе начинают с диаграмм, рассмотренных в конце предыдущего параграфа; второй способ потребует несколько больше алгебраических выводов соотношений между двумя системами движущимися с относительной скоростью

Чтобы установить количественную связь между системами нужно знать единицы этих систем и связывающие их соотношения. Для этого в свою очередь необходимо на осях и системы показанной на фиг. 113,б, построить изображение единиц, которые представляли бы в системе те же отрезки длины и интервалы времени, которые мы выбрали в качестве единиц в системе 5. Предположим, что расстояние от точки О до точки (фиг. 114,а) представляет линейку единичной длины, покоящуюся в системе . Мировые линии концов этой линейки образуются осью и параллельной ей линией, проходящей через точку Эта линия пересекает ось в точке

Мировые линии концов той же самой линейки, покоящейся в системе образовывались бы осью и параллельной ей линией, проходящей через точку оси Отрезок представляет собой единицу длины в системе Мировая линия, проходящая через точку Епересекает ось в точке

Для краткости мы будем обозначать отрезки символами продолжая использовать эти символы и для обозначения концов этих отрезков.

Фиг. 114. К выводу преобразований Лоренца. а — единицы пространства и времени в системе и в системе Отрезок служит представлением в системе единичной линейки, покоящейся в системе тогда как отрезок представляет в системе единичную линейку, покоящуюся в системе к вычислению отношения в — лоренцово преобразование координат мировой точки

Смысл символа состоит в следующем: покоящийся в системе наблюдатель, который хочет измерить длину единичной линейки, покоящейся в системе получит в результате одновременного наблюдения в качестве концов линейки точки Одновременность наблюдения в системе играет существенную роль потому, что единица, определенная в системе движется относительно наблюдателя, связанного с системой Поскольку единица системы определяется отрезком результат измерения единицы в системе будет равен доле единицы системы Если соответствует 1 см, то наблюдатель, связанный с системой получит величину, равную см.

То же самое справедливо и для здесь представляет собой коэффициент, связывающий результаты двух измерений.

Но, согласно принципу относительности, две наши системы эквивалентны, т. е. относительные изменения должны быть равны:

Это соотношение позволяет определить положение точки

Единицу времени в системе равную можно построить соответствующим образом из определяет единицу времени в системе

Из фиг. 114, а следуют два соотношения:

Теперь мы умеем преобразовывать координаты любой мировой точки в системе в координаты этой точки в системе

На фиг. 114, в изображены две системы с единицами длины и отрезок смысл которого мы уже знаем из фиг. 114, а. Точка с координатами в системе 5 имеет координаты в системе 5. Можно измерять длины на нашем чертеже в единицах (например, в сантиметрах), но координаты определяются в единицах в системе или единицах системе это значит, что

где длина, измеренная в единицах координата, и что

соответственно. Отсюда и из фиг. 114, в следуют пропорции

Подставляя вторую из них в первую и пользуясь соотношением мы получаем в результате

Соответствующее соотношение между временными координатами имеет вид

Две последние формулы, дополненные равенствами (ибо перпендикулярны направлению движения и поэтому не изменяются), образуют так называемое преобразование Лоренца, позволяющее вычислять координаты мировой точки в системе по заданным координатам ее в системе Запишем это преобразование в общепринятой форме

Эти соотношения и представляют собой формулы, полученные Лоренцом при анализе максвелловских уравнений поля (см. гл. V, § 15, стр. 214).

Рассмотрим теперь алгебраический метод вывода тех же самых формул преобразования. Мировая точка (ее координаты равны в системе в системе 5) может принадлежать мировой линии, определяемой уравнением которая представляет точку, покоящуюся в системе в положении С. В системе 5 эта же мировая линия определяется уравнением (фиг. 114, в). Оба приведенных уравнения, таким образом, описывают одну и ту же мировую линию. Деля второе на первое, получаем

где а так же, как постоянна вдоль мировой линии. Следовательно,

Но, согласно принципу относительности, обе системы эквивалентны. Поэтому можно с одинаковым правом применить те же самые соображения к мировой линии точки, покоящейся в системе с той поправкой, что теперь относительная скорость будет иметь обратный знак. Следовательно, должно быть пропорционально и ввиду эквивалентности систем коэффициент пропорциональности а должен оказаться тем же самым в обоих случаях:

Из этого и предыдущего уравнений можно выразить через Мы получаем

так что

Отсюда и из уравнения можно вычислить по известным Коэффициент пропорциональности а пока еще остается неизвестным, но его можно выбрать так, чтобы он согласовался с принципом постоянства скорости света.

Чтобы применить этот принцип, предположим, что световойг сигнал излучается из начала координат обеих систем. Согласно принципу постоянства скорости света, мировая линия светового сигнала должна определяться уравнениями в каждой из систем. Подставляя эти уравнения в уравнения

и получаем

Перемножая их, имеем

или

Теперь формулы преобразования приобретают вид

Это тот же самый результат, который мы вывели выше геометрическим методом.

Для того чтобы выразить через необходимо разрешить уравнения (70а) относительно Но из эквивалентности обеих систем 5 и 5 следует без всяких вычислений, что формулы, которые получились бы в результате такого пересчета, должны иметь точно тот же самый вид (с тем исключением, что изменится на Итак,

что можно проверить и прямым вычислением.

Особенный интерес представляет предельный случай, когда скорость одной из двух систем становится очень малой по сравнению со скоростью света. Тогда мы приходим прямо к преобразованию Галилея [формула (29), стр. 78]. Действительно, если величиной можно пренебречь по сравнению с 1, то из (70) получаем

Теперь понятно, что благодаря малости величины в большинстве практических случаев механика Галилея и Ньютона удовлетворяла всем требованиям в течение ряда столетий.