ГЛАВА V. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

§ 1. ЭЛЕКТРО- И МАГНИТОСТАТИКА

Тот факт, что некоторые виды руды магнетиты — притягивают железо и что натертый янтарь (по гречески — электрон) притягивает и удерживает легкие тела, был известен еще древним. Но наука о магнетизме и электричестве представляет собой продукт более поздней эпохи, уже воспитанной Галилеем и Ньютоном в духе умения задавать природе рациональные вопросы с помощью эксперимента.

Основные факты об электрических явлениях, которые нам предстоит кратко охарактеризовать, были установлены около 1600 г. В то время трение было единственным способом вызывать электрические эффекты. Грэй обнаружил (1729 г.), что металлы, если их привести в контакт с телом, предварительно наэлектризованным трением, сами приобретают аналогичные свойства. Он показал, что металлы могут проводить электричество. Это привело к классификации веществ на проводники и непроводники (изоляторы). Как обнаружил Дюфе (1730 г.), действие электричества не всегда оказывается притяжением — оно может быть и отталкиванием. Чтобы объяснить этот факт, он предположил существование двух сред (теперь мы называем их положительным и отрицательным электричеством) и установил, что одинаково заряженные тела отталкивают друг друга, а противоположно заряженные — притягивают.

Мы определим понятие электрического заряда количественно. В процессе формирования этого определения мы не будем следовать той нередко идущей далекими кружными путями цепочке аргументов, которая исторически привела к законченной формулировке понятий и законов: предпочтительнее выбрать ряд определений и экспериментов, которые позволят наиболее отчетливо выделить логическую структуру.

Представим себе тело которое как-то наэлектризовано трением. Оно при этом действует на другие наэлектризованные тела, притягивая или отталкивая их. Для изучения этого взаимодействия мы возьмем несколько маленьких пробных тел, скажем шариков, диаметры которых очень малы по сравнению с расстоянием их наименьшего удаления от тела Когда мы подносим к телу пробное тело оно испытывает действие

статической силы, имеющей определенную величину и направление. Эту силу можно измерить методами механики, например уравновешивая ее каким-нибудь весом с помощью рычагов или системой нитей на блоках. Таким путем можно сразу установить количественно, что сила уменьшается с увеличением расстояния

Возьмем теперь два таких пробных тела и поднесем их по очереди к одной и той же точке в окрестности тела и измерим в каждом случае силы по величине и направлению. Исходя из этого опыта, мы примем соглашение, что противоположные силы следует понимать как силы, направленные вдоль одной и той же прямой и имеющие противоположные знаки. Эксперимент показывает, что две такие силы действуют вдоль одного и того же направления, но их величины могут быть различными и иметь различные знаки.

Поместим теперь два наших пробных тела в другую точку вблизи тела и измерим вновь величины и направления сил Эти силы опять действуют вдоль одного и того же направления, но в общем случае имеют различные величины и различные знаки.

Возьмем теперь отношение сил, действующих на пробные тела в первой точке, и отношение сил, действующих во второй точке; оказывается, оба отношения имеют одно и то же значение, которое может быть положительным или отрицательным:

Из этого результата мы можем сделать следующие выводы:

1. Направление силы, действующей со стороны наэлектризованного тела на малое пробное тело не зависит вообще от природы и степени электризации пробного тела; оно зависит лишь от свойств тела

2. Отношение сил, действующих на два пробных тела, помещаемых по очереди в одну и ту же точку, совершенно не зависит от выбора точки, т. е. от положения, природы и электризации тела Оно зависит только от свойств пробных тел.

Теперь мы выберем определенное пробное тело, наэлектризованное определенным образом, и примем его заряд в качестве единицы заряда или количества электричества . С помощью этого пробного тела измерим силу, вызываемую телом в различных точках. Обозначим эту силу через Тогда определяется также направление силы К, действующей на любое другое пробное тело Отношение зависит лишь от пробного тела и определяет отношение электрического заряда тела к единице заряда Последний может быть

положительным или отрицательным в зависимости от того, имеют ли силы одно и то же направление или противоположное. Таким образом, для любого расположения пробного тела мы имеем

Отсюда мы приходим к выводу, что зависит только от электрической природы тела Поэтому отношение

стали называть напряженностью электрического поля Эта величина определяет электрическое взаимодействие тела с телами в окружающем пространстве, или, как мы обычно говорим, его электрическое поле. Из равенства следует, что

Что касается выбора единицы заряда, то ее почти невозможно задать удобным для практики способом с помощью какого-либо рецепта электризации определенного пробного тела; предпочтительнее механическое определение. К такому определению можно прийти следующим путем.

Прежде всего сообщим двум телам одинаковые заряды. Критерий одинаковости зарядов состоит в том, что на эти заряды действует одинаковая сила со стороны третьего тела когда заряженные тела помещаются в одну и ту же точку в окрестности тела Такие два тела будут отталкивать друг друга с одной и той же силой. Теперь мы можем условиться, что заряд каждого из этих тел составляет единицу заряда если тела отталкивают друг друга с единичной силой, будучи удаленными друг от друга на расстояние, равное единице длины. Здесь не делается каких-либо предположений относительно характера зависимости силы от расстояния.

Благодаря этому определению количество электричества или электрический заряд становится измеримой величиной, аналогично тому, как измеримы длина, масса и сила.

Наиболее важный закон о количествах электричества, установленный независимо в 1747 г. Уотсоном и Франклином, состоит в том, что при каждом электрическом процессе всегда образуется эквивалентное количество положительного и отрицательного электричества. Например, если натереть стеклянную палочку кусочком шелка, то она приобретает положительный заряд; точно такой же, но отрицательный заряд приобретает при этом и щелк,

Этот эмпирический факт можно истолковать, предположив, что два вида электризации не создаются трением, но лишь разделяются. Их можно представить себе как две жидкости, которые присутствуют в каждом теле в одинаковых количествах. В ненаэлектризованных, «нейтральных» телах эти жидкости распределены повсюду равномерно, так что их внешние эффекты взаимно уравновешиваются. В наэлектризованных же телах они оказываются разделенными — скажем, некоторая часть положительного электричества перетекает из одного тела в другое; в обратную сторону перетекает эквивалентная часть отрицательного электричества.

Однако ясно, что достаточно предположить существование единственной жидкости, которая могла бы перемещаться независимо от вещества. В этом случае мы должны были бы приписать веществу, свободному от этой жидкости, определенный заряд, скажем положительный, а самой жидкости — противоположный, т. е. отрицательный заряд. Тогда электризация состоит в перетекании отрицательно заряженной жидкости из одного тела в другое. Первое тело при этом становится положительным, поскольку положительный заряд вещества больше уже ничем не компенсируется; другое тело становится отрицательно заряженным, так как оно несет избыток отрицательно заряженной жидкости.

Борьба между сторонниками двух гипотез — одножидкостной и двухжидкостной — продолжалась довольно долгое время и, конечно, велась впустую, оставаясь бесцельной до тех пор, пока судьбу этих теорий не решило открытие новых экспериментальных фактов. Мы не будем углубляться дальше в эти споры и укажем лишь кратко, что в конце концов в поведении двух видов электричества были обнаружены характерные различия; они указывали, что положительная электризация на самом деле всегда неразрывно связана с веществом, тогда как отрицательная электризация передается от тела к телу более или менее свободно. Это представление остается общепринятым и в наши дни. Мы еще вернемся к этому обстоятельству позднее, обсуждая теорию электронов.

Другим спорным пунктом оказался вопрос о том, как электрические силы притяжения и отталкивания передаются в пространстве. Первые десятилетия электрических исследований относятся еще к времени, предшествующему разработке ньютоновской теории тяготения. Тогда действие на расстоянии казалось немыслимым. Считалось обязательным выполнение метафизических теорем (например, о том, что материя может действовать только в тех точках, где она присутствует), а для объяснения электрических сил выдвигались противоречивые гипотезы, например что из заряженных тел истекают некоторые

эманации, которые оказывают давление, всасываясь в другие тела, и ряд других подобных предположений. Но после установления ньютоновской теории гравитации идея силы, действующей прямо на расстоянии, постепенно перешла в привычную манеру мышления. Ибо, вне всякого сомнения, лишь укоренившейся привычкой можно объяснить тот факт, что иногда глубоко овладевшая умами идея начинает восприниматься как непререкаемый принцип, предопределяющий всякое объяснение. Именно поэтому метафизические суждения, нередко облачившись в тогу философского критицизма, с такой легкостью начинают выдавать какой-либо правильный или просто принятый принцип объяснения за абсолютную логическую необходимость, отрицая саму возможность того, что можно представить себе и нечто противоположное этому принципу. К счастью, прогрессивная эмпирическая наука, как правило, не принимает этого слишком серьезно и, когда того требуют новые факты, нередко возвращается к идеям, ранее уже отвергнутым. Развитие представлений об электрических и магнитных силах дает пример подобного круговорота теорий. Первой родилась теория близкодействия, базировавшаяся на метафизической основе, затем - теория действия на расстоянии, исходившая из ньютоновской модели. Наконец, последняя вновь превратилась благодаря открытию новых фактов в общую теорию близкодействия. Эти колебания — не свидетельство слабости, ибо самое существенное содержание теорий составляют не сопоставляемые этим теориям картины, а эмпирические факты и связывающие их концепционные соотношения. И если проследить за последними, то мы увидим не колебания, а лишь непрерывное развитие, полное внутренней логической последовательности. Мы можем с полным правом пропустить первые теоретические попытки доньютоновских времен, так как тогда фактические сведения были слишком неполными для того, чтобы образовать действительно плодотворную исходную базу. Но возникновение теории действия на расстоянии в ньютоновской механике уже вполне надежно основано на фактах наблюдений. Исследования, располагавшие лишь экспериментальными средствами XVIII в., с необходимостью должны были приводить к выводу, что электрические и магнитные силы действуют на расстоянии подобно гравитации. Даже в наши дни с точки зрения глубоко разработанных теорий близкодействия Фарадея и Максвелла допустимо представлять электро- и магнитостатические силы в форме действия на расстоянии; при правильном использовании эти представления приводят к правильным результатам.

Идея о том, что электрические силы действуют подобно гравитации на расстоянии, была впервые высказана Эпинусом

(1759 г.). Его попытка установить правильный закон зависимости электрического действия от расстояния не была успешной, однако ему удалось качественно объяснить явление электростатической индукции. Это явление состоит в том, что заряженное тело притягивает не только другие заряженные тела, но и незаряженные, в том числе и проводящие тела: заряженное тело наводит на ближайшей к нему стороне нейтрального проводящего тела заряд противоположного знака, а на удаленной стороне собирается одновременно заряд того же знака, что и у тела (фиг. 78). При этом притяжение перевешивает отталкивание, поскольку силы уменьшаются с увеличением расстояния между зарядами.

Фиг. 78. Электростатическая индукция. Заряженное тело наводит заряды на ранее нейтральном теле.

Точный закон уменьшения силы с расстоянием был предположительно впервые установлен Пристли (он открыл и кислород в 1767 г.). Пристли установил этот закон оригинальным косвенным путем, который, однако, оказался более плодотворным, чем прямое измерение. Независимо от него тот же закон вывел из аналогичных соображений Кавендиш (1771 г.). Однако этот закон был назван по имени физика, первым доказавшего его непосредственно с помощью прямых измерений сил, — Кулона (1785 г.).

Пристли и Кавендиш рассуждали примерно следующим образом: если проводнику сообщить электрический заряд, то этот заряд не может оставаться в равновесии внутри проводящего вещества, так как электрические частицы одного и того же знака отталкивают друг друга. Гораздо вероятнее, что эти частицы разбегутся к внешней поверхности проводника, на которой и распределятся определенным образом так, чтобы достичь равновесного состояния. Но эксперимент со всей определенностью показывает, что внутри пространства, ограниченного со всех сторон металлическими стенками, не существует электрического поля, как бы сильно ни была заряжена ограничивающая это пространство поверхность. Заряды на внешней поверхности, ограничивающей пустое пространство, должны поэтому распределяться так, чтобы сила, действующая в каждой точке внутри, была равна нулю. Так, в частности, если пустое пространство имеет форму сферы, то заряд из соображений симметрии может распределиться только равномерно по всей поверхности. Если заряд на единицу поверхности (плотность заряда), то количество электричества на двух частях поверхности составляет соответственно Сила, с которой участок поверхности действует на пробное тело помещенное внутри

сферы и несущее заряд равна тогда

где сила, возникающая между двумя единичными зарядами помещенными в точках и каким-то образом зависящая от расстояния между точками Далее, соответственно каждому участку существует противоположный ему участок который можно построить, соединяя все точки, ограничивающие участок с точкой и продолжая эти отрезки через далее до пересечения с противоположной частью сферы. Две площади вырезаются, таким образом, на поверхности сферы одним и тем же двойным конусом с вершиной в точке (фиг. 79) так, что углы между ними и осью двойного конуса равны между собой. Следовательно, площади относятся друг к другу как квадраты их расстояний от точки

Фиг. 79. Вывод закона Кулона.

Заряд находящийся на участке действует на точку с силой

где зависит от определенным образом; разумеется, направлена противоположно Невольно напрашивается мысль, что все силы, действующие на точку могут в точности нейтрализовать друг друга только в том случае, когда силы, обусловленные двумя противоположными частями поверхности сферы, в точности уравновешивают друг друга, т. е. когда Это вполне возможно обосновать, что, однако, увело бы нас слишком далеко. Если принять это на веру, то отсюда сразу следует, что или

Следовательно,

где С — величина, не зависящая от расстояния Тем самым определяются именно:

Итак, в общем случае сила действующая между двумя единичными зарядами, разделенными расстоянием должна составлять между двумя зарядами и на том же расстоянии составляет величину

В соответствии с условием, принятым выше относительно единицы электрического заряда, мы должны положить

тогда размерность заряда определяется из соотношения Но если, как мы условились, сила, действующая между двумя единичными зарядами, расположенными друг от друга на единичном расстоянии, должна быть равна единице силы, то сила, с которой действуют друг на друга два тела, несущие заряды и и разделенные расстоянием будет равна

В этом состоит закон Кулона. Формулируя его, мы предполагаем, разумеется, что даже самые большие диаметры заряженных тел значительно меньше расстояний, разделяющих такие тела. Смысл этого ограничения состоит в том, что мы должны оперировать, как и в случае гравитации, с идеализированным элементарным законом. Для того чтобы вычислить действие друг на друга тел конечной протяженности, нужно рассмотреть разделение электричества, присутствующего в таких телах, на малые части, затем подсчитать действие всех частиц одного тела на все частицы другого тела попарно, а затем просуммировать все эти действия.

Формула (46) определяет размерность количества электричества, так как в случае отталкивания одинаковых зарядов откуда

Это одновременно задает и единицу заряда в системе ее следует записывать как

Электрическая напряженность поля определяемая соотношением имеет размерность

а ее единица равна

С установлением закона Кулона электростатика стала математической наукой. Наиболее важная задача этой науки состоит в следующем: по данному полному количеству электричества на проводящих телах вычислить распределение зарядов на этих телах, образующееся под влиянием взаимных действий зарядов, а также силы, обусловленные этими зарядами. Разработка этой математической проблемы интересна в том смысле, что ее исходная формулировка, основанная на действии на расстоянии, очень скоро изменилась и перешла в теорию псевдоблизкодействия: именно вместо суммирования кулоновских сил вскоре были получены дифференциальные уравнения, в которых напряженность поля или связанная с ней величина, называемая потенциалом, играла роль неизвестного. Мы, однако, не можем обсуждать эти чисто математические вопросы более детально; упомянем лишь имена Лапласа (1782 г.), Пуассона (1813 г.), Грина (1828 г.) и Гаусса (1840 г.), сыгравших выдающуюся роль в решении этой проблемы. Подчеркнем только одно обстоятельство. При этом подходе к электростатике, называемом обычно теорией потенциала, мы имеем дело не с истинной теорией близкодействия в том смысле, в каком мы употребляли это выражение выше (гл. IV, § 6, стр. 108), ибо дифференциальные уравнения описывают только изменение поля от точки к точке и не содержат членов, описывающих изменения во времени. Поэтому они не позволяют проследить передачу электрической силы с конечной скоростью, но, несмотря на свою дифференциальную форму, представляют мгновенное действие на расстоянии.

Теория магнетизма развивалась тем же путем, что и электростатика. Поэтому мы можем сказать о ней совсем кратко.

Ромбовидное намагниченное тело — магнитная игла — имеет два полюса, т. е. две точки, из которых магнитная сила как бы начинает свое действие. Имеет место закон, согласно которому одинаковые полюсы отталкивают, а противоположные — притягивают друг друга. Если магнит разломить пополам, то две части не несут противоположных магнитных зарядов, но каждая обнаруживает новый полюс вблизи образовавшейся поверхности и вновь оказывается полным магнитом с двумя

одинаковыми и противоположно заряженными полюсами. Это верно независимо от того, на сколько частей разламывается магнит.

Отсюда был сделан вывод, что существует, вне всякого сомнения, два вида магнетизма, как и в случае электричества, с той лишь разницей, что они не могут свободно перемещаться и присутствуют в минимальных количествах вещества — молекулах — в равных долях. Таким образом, каждая молекула сама по себе является маленьким магнитом с северным и южным полюсами (фиг. 80). В ненамагниченном теле все элементарные магниты пребывают в полном хаосе. Намагничивание заключается в том, чтобы придать им одно и то же направление. При этом влияние всех северных и южных полюсов взаимно уравновешивается везде, кроме двух крайних границ тела, которые благодаря этому и представляются нам источниками магнитных эффектов.

Фиг. 80. Намагниченное тело, состоящее из элементарных магнитов.

Взяв очень длинную, тонкую намагниченную иглу, можно быть уверенным, что в окрестности одного из полюсов сила действия противоположного полюса становится пренебрежимо малой. Таким образом, в случае магнетизма мы также можем оперировать пробными телами, именно полюсами очень длинных, тонких намагниченных стержней. Они позволяют осуществлять те же измерения, которые мы уже обсудили в случае электричества. На этом пути мы успешно определяем количество магнетизма, или силу полюса и магнитную напряженность поля Магнитная сила, с которой на полюс действует поле равна

Единицу, в которой измеряется сила полюса, выбирают так, что два единичных полюса на единичном расстоянии друг от друга действуют друг на друга с единичной силой. Закон изменения силы, действующей между двумя полюсами в зависимости от расстояния также был установлен Кулоном

посредством прямых измерений. Как и ньютоновский закон тяготения, он имеет вид

Очевидно, размерности магнитных величин совпадают с размерностями соответствующих электрических, и их единицы в системе имеют те же обозначения.

Математическая теория магнетизма строится почти параллельно теории электричества. Наиболее важное различие между ними состоит в том, что магнетизм всегда связан с молекулами и что измеримые накопления, обусловливающие образование полюсов в случае конечных магнитов, возникают лишь благодаря суммированию по молекулам, ориентированным в одном и том же направлении. Разделить два вида магнетизма и сделать тело, имеющее, например, только северный полюс, невозможно.