2. Критерий сепарабельности, сепарабельные величины и групповые функции

Любую квантовомеханическую проблему можно переформулировать таким образом, что если полная система распадается на невзаимодействующие подсистемы, то все величины, появляющиеся в этой новой формулировке, являются аддитивными величинами.

Приведенное утверждение легко доказать в формулировке квантовой механики, основанной на алгебре Ли. Любую квантовомеханическую задачу всегда можно сформулировать в рамках алгебры Ли, использующей понятия гамильтониана и других операторов, и, применив экспоненциальную формулу Хаусдорфа.

можно построить систему, которая точно удовлетворяет сформулированному условию.

В качестве примера рассмотрим систему, составленную из электронов и описываемую гамильтонианом II

Разобьем теперь произвольным образом полную систему на две подсистемы с числами электронов А и В эти подсистемы онисываютс следующими гамильтонианами

Полный гамильтониан, таким образом, представляется в виде

где

Пусть теперь — любая величина (функция или оператор), которая появляется в формулировке квантовомеханической задачи, использующей гамильтониан пусть и — соответствующие величины для подсистем А и В при описании их гамильтонианами Если для любого разбиения полной системы на подсистемы А и В выполняется условие

то величину X будем называть аддитивной сепарабельной величиной. Примерами аддитивных сепарабельных величин являются гамильтониан и полная энергия. Между сепарабельными величинами и элементами алгебры Ли существует соответствие; имеется также соответствие между сепарабельными величинами и связными групповыми разложениями. Если расширить алгебру Ли (содержащую только элементы, представимые коммутаторами) до операторной алгебры (содержащей все произведения своих элементов), то мы получим возможность включить в рассмотрение также и несепарабельные величины и несвязные групповые величины

В особом случае коммутирующих друг с другом величин удобно ввести мультипликативные сепарабельные функции, или факторизуемые функции. Пусть X — аддитивная сепарабельная функция; тогда мультипликативная сепарабельная функция

С факторизуемыми функциями тесно связаны групповые функции. Функция и (), которая обраущется в нуль, если любая из частиц перестает взаимодействовать с остальными частицами, называется групповой функцией:

Соотношения, существующие между факторизуемыми функциями и групповыми функциями и, аналогичны соотношениям между моментами и кумулянтами (полуинвариантами) они являются обобщениями групповых разложений Урселла (см., например, [5а, б]), хорошо известных в статистической механике: