9. Модель свободного электрона

Предположение о том, что электрон можно описывать как квазисвободную частицу, опирается на представление о слабости взаимодействия между электроном и атомами в жидкости. Соответственно необходимо, чтобы потенциал притяжения ядра, действующий на электрон при его проникновении в оболочку, балансировался возрастанием кинетической энергии электрона вблизи ядра. Из данного ограничения следует, что псевдопотенциал атома должен быть малым. Но такие условия не выполняются в случае жидкого гелия. Длина рассеяния для системы электрон — гелий относительно велика псевдопотенциал довольно большой вклад вносят эффекты ортогональности. Теоретическое доказательство локализации электрона в жидком гелии мы получаем на основании того факта, что энергия состояния квазисвободпого электрона выше, чем энергия локализованного состояния электрона; чтобы показать это, мы рассмотрим сначала некоторые простые модели квазисвободного электрона в состоянии плоской волпы, но взаимодействующего с жидкостью [38].

Волновая функция электрона берется в виде

где — объем системы.

Для грубой оценки взаимодействия электрона с жидким гелием можно воспользоваться расчетом по теории возмущений в приближении первого порядка. При этом получается, что

где - число атомов жидкости в единице объема, псевдопотенциал одиночного атома. Для имеем

причем определяется фурье-преобразованием псевдопотенциала (для ). Это преобразование не зависит от энергии вплоть до

При низких энергиях нсевдопотенциал слишком велик и применение теории возмущений не оправдано. В этом случае мы можем выразить фурье-преобразование (в применении к псевдопотенциалу) через длину рассеяния

откуда получим

В приведенном результате полностью учтены эффекты однократного рассеяния. Соотношение (79) соответствует оптическому приближению, в котором величина завышается, поскольку электронная кинетическая энергия завышается в результате неучета эффектов многократного рассеяния.

Для оценки эффектов многократного рассеяния полезна модель, предложенная Коэном. Данная модель основывается на применении схемы Вигнера — Зейтца к электрону в кристалле гелия. Каждый атом гелия представляется как твердая сфера с радиусом, равным длине рассеяния. Электронная волновая функция при этом равна

Граничные условия, накладываемые на связывают к с размерами эквивалентной сферы следующим образом:

причем нижнее значение энергии оказывается равным

Уравнение (81) может быть без труда решено для гипотетической решетки, соответствующей плотности жидкого гелия.

Итак, суммируем теоретические результаты. Приближение первого порядка теории возмущений [выражение (77)] приводит к значению оптическая модель [выражение (75)] — к значению и модель Вигнера — Зейтца [выражения (81) и (82)] — к значению

Недавние экспериментальные исследования [39] показали, что потенциальный барьер для проникновения электронов в жидкий гелий составляет что хорошо согласуется со значением подсчитанным по уравнению (81). Эти весьма интересные исследования уже обсуждались в разд. 11-1.