60. Лемма Жордана.
Можно облегчить те условия, которые мы наложили на функцию 
в предыдущем номере для того, чтобы формулы (17) и (18) имели место. Для этого докажем важную для дальнейшего лемму.
Лемма Жордана. Если 
в верхней полуплоскости и на вещественной оси удовлетворяет условию: 
равномерно при 
есть некоторое положительное число, то при 
где 
есть полуокружность с центром в начале координат и радиусом R, находящаяся в верхней полуплоскости.
Вводя полярные координаты 
, перепишем интеграл (24) в виде
и отсюда, принимая во внимание, что 
будем иметь
или
По условию 
стремится к нулю при 
равномерно относительно 
при 
, и, следовательно, нам достаточно показать, что при 
интеграл
будет ограниченной величиной. Разбивая промежуток интегрирования на два: 
к 
, и заменяя во втором из интегралов переменное 
на 
, мы приведем интеграл (26) к виду
Будем теперь поступать так же, как мы это делали в [66]. Разбивая промежуток интегрирования на две части и увеличивая положительную подинтегральную функцию, получаем неравенство
Последние два интеграла берутся до конца и приводят нас к следующему неравенству:
Второе из написанных слагаемых стремится, очевидно, к нулю при 
, а первое стремится к конечному пределу 
так, что вся сумма остается ограниченной при 
. То же самое подавно можно утверждать и относительно интеграла (26), откуда и следует результат леммы.
Пользуясь установленной леммой, мы можем доказать, например, формулу (18) при более легких требованиях по отношению к функции 
. Действительно, раньше мы требовали, чтобы в верхней
полуплоскости и на вещественной оси 
при 
и это требование было нам необходимо для того, чтобы интеграл
по верхней полуокружности 
стремился к нулю при 
. Согласно лемме, мы знаем, что для этого достаточно потребовать лишь, чтобы 
и, таким образом, можем применять формулу (18) лишь в этом предположении.
Пример. Рассмотрим интеграл
В данном случае функция
удовлетворяет всем условиям для формулы (18), и, следовательно, мы должны, как и раньше, определить лишь вычет функции
в полюсе 
находящемся в верхней полуплоскости. Это будет полюс первого порядка, и соответствующий вычет определяется по обычному правилу: числитель, деленный на производную от знаменателя, т. е.
и окончательно
