5. Векторы Киллинга
Инфинитезимальное точечное преобразование
называется инфинитезимальным движением в 
если инфинитезимальное расстояние 
между двумя произвольными точками 
равно инфинитезимальному расстоянию 
между двумя соответствующими точками 
с точностью до членов высшего порядка малости относительно 
Мы имеем
и
Следовательно, необходимым и достаточным условием того, что преобразование (2.23) есть инфинитезимальное движение многообразия, является равенство
или
которое должно удовлетворяться для любых 
с точностью до членов высшего порядка малости относительно Ы. Это равенство сводится к уравнениям
В тензорной форме эти уравнения приобретают вид
Или
и. называются уравнениями Киллинга. Вектор, удовлетворяющий этим уравнениям, называется вектором Киллинга.
Итак, если многообразие допускает инфинитезимальное движение (2.23), то вектор 
удовлетворяет уравнениям (2.24). Если выбрать такую координатную систему, в которой вектор имеет компоненты
то уравнения (2.24) принимают вид
который показывает, что компоненты 
фундаментального тензора в этой специальной системе координат не зависят от переменной 
Таким образом, это многообразие допускает однопараметрическую группу движений
которая порождается вектором 
Далее, если есть вектор Киллинга, то
откуда непосредственно следует, что
Таким образом, этот вектор удовлетворяет условиям (2.19) и, следовательно, выполняются условия (2.20). Поэтому как специальный случай теоремы 2.8 мы имеем:
Теорема 2.10. Если в компактном римановом многообразии 
для поля векторов Киллинга выполняется условие
то непременно
автоматически
В частности, если многообразие имеет всюду отрицательно определенную кривизну Риччи, то в нем не существует поля векторов Киллинга, отличного от нулевого, и, следовательно, в этом многообразии не существует однопараметрической группы движений (Бохнер [2]).
