Глава VII. ПСЕВДОГАРМОНИЧЕСКИЕ И ПСЕВДОКИЛЛИНГОВЫ ТЕНЗОРЫ В МЕТРИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЯХ С КРУЧЕНИЕМ

1. Метрические многообразия с кручением

Рассмотрим -мерное компактное многообразие на которое задана положительно определенная метрика

и коэффициенты метрической связности такие, что

где вертикальная черта обозначает ковариантное дифференцирование относительно связности

Связность не предполагается симметричной, Тензор

называется тензором кручения. Определим тензор при помощи соотношения и используем тензоры для поднятия и опускания индексов, так что, например,

заметим, что в силу (7.2) поднятие и опускание индексов перестановочно с ковариантным дифференцированием. Из (7.2) мы имеем

и, умножая сумму этих уравнений на и свертывая по найдем в силу (7.4):

Из (7,5) имеем

так что симметричная часть не будет, вообще говоря, совпадать с символом Кристоффеля А для того, чтобы это совпадение имело место, должно выполняться условие

или

Таким образом, ковариантный тензор кручения который по определению антисимметричен по индексам должен быть антисимметричен по всем индексам. Так как обратное утверждение очевидно, мы имеем:

Теорема 7.1. Для того, чтобы симметричная часть совпадала с символом Кристоффеля необходимо и достаточно, чтобы ковариантные компоненты тензора кручения были антисимметричными по всем индексам.

В случае пространства полупростой группы, рассмотренного в разделе 1 гл. VI, имеем

и так как тензор является антисимметричным по всем индексам, получим

Если теперь мы вычислим для произвольного тензора вторую альтернированную ковариантную производную то получим формулу Риччи:

где

есть тензор кривизны метрической связности Применяя формулу Риччи к тензору найдем

и, полагая

получим

Легко проверить, что компоненты тензора кривизны удовлетворяют следующим тождествам Бианки вместо обычных:

Заметим, что для пространства полупростой группы, в котором уравнения (7.10) сводятся к тождеству Якоби, а уравнения (7.11) удовлетворяются тождественно. Далее, полагая

мы найдем, что

и

где

точка с запятой обозначает ковариантное дифференцирование относительно символов Кристоффеля

Если мы предположим, что тензор антисимметричен по всем индексам, то, как и в случае пространства полупростой группы, имеем и уравнение (7.14) принимает вид

откуда

где

Мы имеем также

Из (7.16) следуют соотношения

и, таким образом, тензор в общем случае не является симметричным. Но из (7.19) следует, что

и мы получаем следующие теоремы:

Теорема 7.2. Если в метрическом многообразии с антисимметричным тензором кручения имеет место соотношение то форма является неотрицательно определенной.

Теорема 7.3. Если в метрическом многообразии с антисимметричным тензором кручения форма является неположительно определенной, то и форма будет неположительно определенной.