6. Аффинные коллинеации

Геодезические линии в удовлетворяют дифференциальному уравнению

где а длина дуги.

Инфинитезимальное точечное преобразование

называется инфинитезимальной аффинной коллинеацией в если это преобразование отображает инфинитезимально каждую геодезическую линию многообразия в геодезическую и если длина дуги 5 преобразуется аффинно.

Если преобразование (2.27) есть инфинитезимальная аффинная коллинеация, то она отображает геодезическую линию (2.26) в геодезическую

где

являются константами. Из (2.28) мы имеем

откуда, используя уравнение (2.26), получим

Но так как преобразование (2.27) отображает каждую геодезическую линию в геодезическую, то мы должны иметь

или в тензорной форме

Итак, если многообразие допускает инфинитезимальную аффинную коллинеацию (2.27), то вектор удовлетворяет уравнению (2.30).

Если мы выберем такую систему координат, в которой вектор имеет компоненты то уравнения (2.30) примут вид

который показывает, что символы Кристоффеля в этой специальной координатной системе не зависят от переменной Таким образом, многообразие допускает однопараметрическую группу аффинных коллинеаций

которая порождается вектором

Рассмотрим векторное поле удовлетворяющее уравнению (2.31) Если мы умножим это уравнение на и свернем по то, воспользовавшись соотношением (1.58), найдем

и поэтому из теоремы 2.6 получим следующую теорему:

Теорема 2.11. Если в компактном римановом многообразии существует однопараметринеская группа аффинных коллинеаций, порождаемая вектором удовлетворяющим условию

то непременно

и автоматически

В частности, если многообразие имеет всюду отрицательно определенную кривизну Риччи, то в этом многообразии не существует однопараметрических групп аффинных коллинеаций.