Глава VIII. КЭЛЕРОВЫ МНОГООБРАЗИЯ

1. Кэлеровы многообразия

Рассмотрим вещественное -мерное многообразие класса с заданным покрытием окрестностями, в каждой из которых имеется система координат.

Если и суть координаты точки в двух различных координатных окрестностях, то между этими координатами существует соотношение

где функции класса с якобианом, не равным нулю, а латинские индексы принимают значения

Если теперь мы положим

где греческие индексы принимают значения то получим взаимнооднозначное соответствие

и можно рассматривать как координаты точки в нашем вещественном -мерном многообразии Уравнения (8.1) всегда могут быть формально записаны как соотношения

Пусть выполнены два следующих условия.

I Можно полностью покрыть многообразие системой координатных окрестностей, в которых заданы комплексные координаты Если две комплексные координатные окрестности многообразия, а точка принадлежит то комплексные координаты точки в одной из этих комплексных координатных окрестностей суть комплексные аналитические функции с не обращающимся в нуль якобианом от комплексных координат той же точки в другой координатной окрестности.

Тогда мы будем говорить, что многообразие имеет комплексную аналитическую структуру, и будем называть многообразие комплексно аналитическим (или просто аналитическим) многообразием вещественной размерности и комплексной размерности

В этом случае уравнения (8.3) принимают вид

где обозначает функцию, комплексно сопряженную Если мы обозначим

и примем, что надчеркнутые греческие индексы принимают значения то вместо мы сможем написать а преобразование (8.4) представить в виде

Якобиан преобразования (8.4), как легко видеть, вещественен и положителен:

и, таким образом, наше многообразие всегда ориентируемо.

Комплексное аналитическое многообразие комплексной размерности мы будем обозначать через векторы, тензоры, коэффициенты аффинной связности и т. д. определяются по отношению к преобразованиям координат (8.5), имеющим специальный вид (8.4), точно тем же способом, что и в вещественном случае. Например, закон преобразования компонент контравариантного вектора

в силу специальной формы (8.4) преобразования (8.5) можно записать в виде двух отдельных формул

Таким образом, компонент разделяются на две совокупности которые преобразуются одна отдельно от другой.

Уравнения (8.6) показывают, что если компоненты контравариантного вектора, то тоже компоненты контравариантных векторов. Более того, взяв комплексно сопряженные выражения для правых и левых частей равенств (8.6), мы получаем

Это показывает, что если — компоненты контравариантного вектора, то также компоненты контравариантного вектора.

Для тензоров применимы те же рассуждения. Например, если нам задан тензор , то

являются системами компонент тензоров того же типа, как и исходный.

Если компоненты антисимметричного тензора, то

также компоненты антисимметричного тензора того же типа, как исходный. При этом неравные нулю компоненты этого тензора содержат точно ненадчеркнутых и надчеркнутых индексов. Мы назовем такой тензор чистым тензором типа

Каждый антисимметричный тензор может быть выражен в виде суммы чистых тензоров типов

Более того, если компоненты тензора, то компонентами тензора того же типа будут и

где

Мы будем обозначать

и будем называть тензором, присоединенным к Величину назовем самоприсоединенной, если

Это означает, что, сменив надчеркнутые индексы на ненадчеркнутые и обратно, мы заменяем компоненту на комплексно сопряженную.

Например, контравариантный вектор самоприсоединен, если он удовлетворяет равенству

Ковариантный вектор самоприсоединен, если он удовлетворяет равенству

Симметричный ковариантный тензор самоприсоединен, если

Из разделимости компонент тензора следует, что самоприсоединенность сохраняется при преобразованиях координат вида (8.4).

Более того, из самоприсоединенности ковариантного тензора следует самоприсоединенность контравариантного тензора определенного равенством символов Кристоффеля

тензора кривизны Римана — Кристоффеля

тензора Риччи

и скалярной кривизны

Здесь и всюду скаляр самоприсоединен, если он вещественен. Далее, обозначим ковариантное дифференцирование относительно точкой с запятой, например:

мы можем убедиться, что самоприсоединенность сохраняется при ковариантном дифференцировании.

Допустим теперь, что в нашем комплексном аналитическом многообразии дана положительно определенная квадратичная дифференциальная форма

где симметричный тензор самоприсоединен и удовлетворяет равенству

Из разделимости компонент на четыре совокупности видно, что условия (8.17) сохраняются при

преобразованиях координат вида (8.4). В силу условий (8.17) метрическую форму (8.16) можно записать в виде

где

Метрика (8.18), удовлетворяющая условию (8.19), называется эрмитовой метрикой.

Принимая во внимание, что

мы получаем следующие выражения для символов Кристоффеля Г:

Значения остальных символов получаются при помощи свойств симметрии и самоприсоединенности.

Из закона преобразования символов Кристоффеля

мы получаем

Таким образом, условие

инвариантно относительно преобразований координат вида (8.4). Условие (8.20) эквивалентно условию

или

или, далее,

Для самоприсоединенности необходимо, чтобы была вещественной функцией.

Условия (8.20), а также эквивалентные им (8.21), (8.22) или (8.23) называются условиями Кэлера, а метрика, удовлетворяющая (8.19) и (8.21), называется кэлеровой метрикой.

Таким образом, в кэлеровой метрике мы имеем

и ковариантная производная контравариантного вектора следовательно, задается формулами