3. Тензоры Киллинга

Для вектора Киллинга и геодезической линии многообразия мы имеем вдоль геодезической

и, таким образом, длина ортогональной проекции вектора Киллинга на касательную к геодезической постоянна вдоль этой геодезической.

Обратно, если длина ортогональной проекции вектора, принадлежащего полю, на касательную к любой геодезической постоянна вдоль этой геодезической, то условие

влечет за собой

Таким образом, необходимое и достаточное условие того, чтобы векторное поле было полем векторов Киллинга, состоит в том, чтобы ортогональная проекция вектора на касательную к любой геодезической оставалась постоянной вдоль этой геодезической. Далее, для антисимметричного тензорного поля величина

остается ковариантно постоянной вдоль любой геодезической тогда и только тогда, когда

т. е. в том и только в том случае, когда

Такое антисимметричное тензорное поле мы будем называть полем тензора Киллинга. Уравнение (3.9) показывает, что ковариантная производная антисимметрична не только по индексам но и по индексам откуда видно, что

эта ковариантнаяпроизводная антисимметрична по всем индексам и, следовательно, уравнение (3.9) эквивалентно

или, в подробной записи,

Если есть тензор Киллинга, то из (3.10) видно, что удовлетворяет равенству

Но соотношения (3.11) и (3.12) влекут за собой равенство (3.7) и, следовательно, равенство (3,8), и потому, как специальный случай теоремы 3.3, получается

Теорема 3.5. В компактном римановом многообразии для поля тензора Киллинга валентности удовлетворяющего неравенству

выполняется равенство

и автоматически

В частности, если форма отрицательно определенная, то не существует поля тензора Киллинга валентности отличного от нулевого (Моги [1], Яно [4]).