9. Поля векторов Киллинга

В компактном кэлеровом многообразии, как и в вещественном случае, вектор есть вектор Киллинга тогда и только тогда, когда

и

Для векторного поля не обязательно самоприсоединенного, соотношения (8.74) могут быть записаны в виде

а отсюда можно сделать следующее заключение:

Теорема 8.18. Если в компактном кэлеровом многообразии есть вектор Киллинга, то его присоединенный вектор также есть вектор Киллинга.

Далее, второе условие (8.75) следует из более сильного условия

То, что это условие значительно более сильное, показывает следующая теорема:

Теорема 8.19. Если на компактном кэлеровом многообразий для вектора выполняется условие

то

1) Этот вектор есть вектор Киллинга тогда и только тогда, когда векторы

суть векторы Киллинга.

2) Если векторы (8.79) — векторы Киллинга, то компоненты аналитические функции от а компоненты аналитические функции от

3) Если векторное поле есть поле векторов Киллинга, то оно параллельное.

4) Вектор есть вектор Киллинга тогда и только тогда, когда контравариантные компоненты аналитические функции от аналитические функции от

Доказательство. 1) Если является вектором Киллинга, то он удовлетворяет (8.74) и (8.75); но в силу дополнительных условий (8.78) это означает, что векторы (8.79) — векторы Киллинга. Аналогично доказывается и обратное предложение.

2) Вектор есть вектор Киллинга тогда и только тогда, когда

Но это влечет за собой равенство

которое эквивалентно независимости от Аналогичное рассуждение можно провести для

3) В силу 2) и теоремы являются гармоническими векторами. Поэтому гармоничен и вектор Отсюда следует

Кроме того, поэтому Таким образом, -параллельное векторное поле.

4) Для параллельного векторного поля имеем

и

Таким образом, и аналитичны. Легко доказать и обратное.