8. Производные Ли

Мы знаем, что необходимое и достаточное условие того, чтобы инфинитезимальное точечное преобразование

было инфинитезимальным движением, состоит в выполнении равенства

для любых значений с точностью до членов высшего порядка относительно

Но если мы рассматриваем (2.33) как преобразование координат, то ввиду того, что есть скаляр, имеем

где являются компонентами фундаментального метрического тензора в координатной системе следовательно, задаются соотношениями

Из (2.34) и (2.35) имеем

Положив

мы найдем

или

Мы называем производной Ли тензора относительно инфинитезимального точечного преобразования (2.32) или относительно векторного поля Для того чтобы инфинитезимальное точечное преобразование (2.33) было движением многообразия, необходимо и достаточно, чтобы производная Ли фундаментального метрического тензора относительно преобразования (2.33) была равна нулю. С другой стороны, с целью найти необходимое и достаточное условие того, чтобы преобразование (2.33) было аффинной коллинеацией, мы можем поступить следующим образом.

Преобразование (2.33) переводит каждую геодезическую

в геодезическую

или

Так как в левой части (2.39) стоят компоненты некоторого вектора, если рассматривать (2.33) как преобразование координат, то уравнения (2.39) могут быть переписаны в системе координат в виде

где являются символами Кристоффеля в системе координат и, следовательно, задаются соотношениями

Теперь, сопоставляя (2.40) и (2.41), получаем соотношения

которые должны удовлетворяться любыми значениями следовательно,

Но

откуда

или

Мы называем производной Ли коэффициента аффинной связности относительно инфинитезимального точечного преобразования (2.33) или относительно векторного поля

Мы видим, что необходимое и достаточное условие того, чтобы инфинитезимальное точечное преобразование (2.33) было инфинитезимальной аффинной коллинеацией многообразия, заключается в равенстве нулю производной Ли символов Кристоффеля, взятой относительно (2.33).

Вообще, если дано поле геометрического объекта мы определяем производную Ли от относительно посредством уравнения

где величины являются компонентами нашего объекта в координатной системе причем преобразование (2.33) рассматривается как преобразование координат Непосредственным вычислением мы можем доказать следующие формулы: для контравариантного вектора

для ковариантного вектора

для смешанного тензора, например для

Для фундаментального метрического тензора имеем

и, следовательно,

Это дает

Складывая эти три равенства, получим

причем мы учли здесь, что

и

Таким образом, имеем

или

откуда видно, что движение в римановом многообразии необходимо является аффинной коллинеацией.

Далее, для контравариантного векторного поля получаем непосредственным вычислением

Аналогично для ковариантного векторного поля

Наконец, для любого тензора, например для получаем

Эти уравнения показывают, что необходимое и достаточное условие перестановочности ковариантного дифференцирования и производной Ли заключается в том, что векторное поле определяет аффинную коллинеацию. Из

находим

и, следовательно,

и, таким образом, для движения имеем