2. Теорема Хопфа — Бохнера и ее приложения

Пусть теперь в компактном многообразии с положительно определенной метрикой и коэффициентами линейной связности задана скалярная функция Мы имеем

отсюда

и, следовательно, применяя теорему 2.2, получим новую теорему: Теорема 7.4. Если в компактном многообразии с положительно определенной метрикой для скалярной функции имеет место неравенство

то выполняется равенство

Как приложение этой теоремы получается

Теорема 7.5. Если в компактном метрическом многообразии с кручением вектор удовлетворяет условиям

и

то непременно выполняется равенство

Вообще если тензор удовлетворяет условиям

и

то непременно выполняется равенство

Для доказательства заметим, что если то

где

и, таким образом, если удовлетворяет условию (7.22), то

Следовательно, первое заключение непосредственно вытекает из теоремы 7.4.

Доказательство теоремы для тензора проводится аналогичным образом.

Теорема 7.6. Если в компактном метрическом многообразии с кручением векторное поле удовлетворяет условиям

и

то последнее неравенство обязательно обращается в равенство. В самом деле, мы имеем общее тождество

и, следовательно, если вектор удовлетворяет условию (7.23), то он удовлетворяет также условию

и поэтому к нему можно применить теорему 7.5. Сходным образом мы получим:

Теорема 7.7. Если в компактном метрическом многообразии с кручением векторное поле удовлетворяет условиям

и

то последнее неравенство обязательно обращается в равенство.

Если теперь антисимметричный тензор удовлетворяет условию

то для функции мы имеем

где

если, с другой стороны, этот тензор удовлетворяет условию

то мы имеем

Теорема 7.8. Если в компактном метрическом многообразии с кручением для антисимметричного тензора удовлетворено условие (7.27) и, кроме того,

то это последнее неравенство обязательно обращается в равенство.

Точно так же, если этот тензор удовлетворяет условию (7.29) и, кроме того, условию

то это последнее неравенство обращается в равенство.