4. Тензоры кривизны

Для скаляра ковариантная производная определяется равенствами

Вторая ковариантная производная будет равна

Таким образом, мы видим, что

Однако для векторов и тензоров последовательные ковариантные дифференцирования в общем случае не являются перестановочными. Так, например, для контравариантного вектора мы получим

где величины

являются компонентами смешанного тензора, называемого тензором кривизны Римана-Кристоффеля. Этот тензор, вообще говоря, отличен от нуля.

Аналогичный результат мы получим для ковариантного вектора

а также для произвольного тензора. Например, для тензора будем иметь

Формулы (1.43), (1.45) и (1.46) называются формулами Риччи. Из тензора кривизны свертыванием получим новый тензор

Умножив этот тензор на фундаментальный тензор и произведя свертывание, получим скаляр

Тензор и скаляр называются соответственно "тензором Риччи" и "скалярной кривизной".

Из определения (1.44) тензора кривизны легко обнаружить, что компоненты удовлетворяют следующим алгебраическим тождествам:

Следовательно, если положим

то компоненты будут удовлетворять соотношениям

Уравнения (1.50) и (1.53) называются тождествами Бианки первого рода.

Применив формулу Риччи к получим

откуда

Вычисляя ковариантные компоненты находим

откуда видно, что

Из тождества (1.50), свертывая по и применяя (1.49) и (1.54), получим

и уравнения (1.57) показывают, что тензор Риччи является симметричным тензором. Нужно заметить, что

т. е.

Для ковариантной производной тензора кривизны можно вывести соотношение

которое называется тождеством Бианки второго рода. Из этого тождества свертыванием по находим

умножив это тождество на и свернув, получим