Глава IX. ДОПОЛНЕНИЯ (С. БОХНЕР)

1. Симметрические многообразия

Возьмем на римановом многообразии произвольный тензор и сразу же обозначим его через поскольку он вскоре будет отождествлен с тензором кривизны. Образуем лапласиан скалярного квадрата

тогда величина будет суммой

и

Выражение (9.1) имеет неотрицательное значение; оно равно нулю тогда и только тогда, когда

Если на компактном многообразии выражение (9.2) также неотрицательно, то, по теореме 2.3, обе величины должны быть равны нулю. Но величина (9.2) обращается, в частности, в нуль, если

что является более слабым требованием, чем условие (9.3). Применяя эти рассуждения к произвольному тензору, мы прежде всего получим следующую полезную лемму (Бохнер

Теорема 9.1. Если на компактном римановом многообразии последовательная ковариантная производная некоторого тензора (или скаляра) обращается в нуль:

то обращается в нуль уже его первая производная, т. е.

Допустим теперь, что тензор кривизны. В этом случае условия (9.3) выражают тот факт, что многообразие является так

называемым симметрическим пространством; свертывая (9.3) с мы получим, в частности,

где тензор Риччи.

Если мы теперь возьмем тождество Бианки

продифференцируем его ковариантно и затем вновь используем это тождество, применяя попутно надлежащим образом тождество Риччи, то сможем показать, что величина (9.2) является суммой следующих двух выражений:

и

где

Из этого разложения вытекает, что в форму уже не входят производные тензора кривизны и что (9.6) включает только производные "сокращенного" тензора Риччи. Поскольку для симметрического пространства выражение (9.2) должно быть нулем и имеет силу равенство (9.5), то оба выражения (9.6) и должны равняться нулю; интересно отметить проистекающее отсюда следующее заключение обратного характера:

Теорема 9.2. Если на компактном римановом многообразии то должно быть (симметрическое пространство).

Несколько более общими, чем симметрические, являются так называемые рекуррентные пространства, определяемые условием

введенные Рюзом [1] и Уокером [1]. Можно было бы рассмотреть и еще более общие пространства, определяемые условием

для которых справедливы утверждения, весьма сходные с теоремой 9.2; мы отсылаем читателя по этому поводу к работе Лихнеровича [9].