2. Теорема Грина

Так как дивергенция контравариантного вектора может быть записана в виде

то в компактном ориентируемом римановом многообразии имеет место теорема Грина (см. Бохнер

Теорема 2.4. В компактном ориентируемом римановом многообразии для произвольного векторного поля выполняется равенство

Чтобы доказать это, заметим сначала, что если ограниченное множество содержится в координатной окрестности, то

Предположим теперь, что "параллелепипед" и что вектор X обращается в нуль на границе а. Тогда

и, следовательно,

Но так как интеграл от равен нулю на всяком открытом множестве, на котором вектор X обращается в нуль, то равенство (2.12) показывает, что равенство (2.11) верно, если вектор обращается в нуль вне некоторого "параллелепипеда" а.

Далее, так как многообразие компактно, то его можно покрыть конечным числом окрестностей замыкания которых будут содержаться в "параллелепипедах" соответственно. Для каждого выберем окрестность промежуточную между и неотрицательную скалярную функцию класса такую, что вне Дополняя функцию нулевыми значениями вне получим всюду на

Таким образом, если мы положим

то функция принадлежит классу причем равна нулю вне параллелепипеда" и

Следовательно, если мы положим

то контравариантное векторное поле обращается в нуль вне "параллелепипеда" . Поэтому мы имеем

Но, с другой стороны,

и, следовательно,

Интегрируя это равенство по всему многообразию, получим

что и доказывает теорему 2.4.

Так как лапласиан скалярного поля может быть записан в виде

то теорема 2.4 приводит к следующей теореме:

Теорема компактном ориентируемом римановом многообразии для всякого скалярного поля имеет место равенство

Если мы применим оператор А к функции то получим

следовательно, применение теоремы 2.5 к скалярному полю дает

Если всюду в то, как видно из (2.13), мы должны иметь всюду в Следовательно, как видно из (2.14), должно выполняться равенство т. е. значит, Это дает другое доказательство теоремы 2.3 в случае ориентируемого многообразия.