3. Псевдогармонические векторы и тензоры

Будем называть вектор псевдогармоническим, если

Такой вектор удовлетворяет, очевидно, условию (7.23) и, следовательно, условию (7.25), и для функции мы имеем

Отсюда получается

Теорема 7.9. Если в компактном метрическом многообразии с кручением симметричной матрице

соответствует неотрицательно определенная квадратичная форма относительно переменных и то каждый псевдогармонический вектор должен удовлетворять условию

Если матрице соответствует положительно определенная форма, то не существует отличного от нуля псевдогармонического вектора. Если теперь

то для псевдогармонического вектора мы имеем

откуда следует, что

Таким образом, в этом случае существует самое большее линейно независимых (относительно постоянных коэффициентов) псевдогармонических векторов. Кроме того, если такой псевдогармонический вектор существует, он должен удовлетворять условию

из которого следует, что

Последнее уравнение показывает, что вектор является просто вектором Киллинга, и, таким образом, мы имеем следующую теорему:

Теорема 7.10. В компактном метрическом многообразии с кручением, в котором всякий псевдогармонический вектор должен иметь равные нулю ковариантные производные относительно коэффициентов связности многообразия, и, следовательно, число линейно независимых псевдогармонических векторов будет не больше Если такой псевдогармоначеский вектор существует, то он будет просто вектором Киллинга.

Если то в силу теоремы 7.2 форма будет неотрицательно определенной. Отсюда в силу теоремы 2.9 простой гармонический вектор должен иметь равные нулю ковариантные производные относительно символов Кристоффеля и удовлетворять условию

Таким образом, если ранг матрицы равен то не существует обыкновенного гармонического вектора, отличного от нуля. Следовательно, имеет место.

Теорема 7.11. В компактном метрическом многообразии с кручением, в котором простой гармонический вектор должен иметь равные нулю ковариантные производные относительно символов Кристоффеля. Если же ранг матрицы равен то не существует отличного от нуля простого гармонического вектора.

В пространстве компактной полупростой.. группы выполняются теоремы 7.10 и 7.11. С другой стороны, в этом пространстве псевдогармонический вектор может быть записан в виде

и в силу теоремы 7.10 его ковариантные производные относительно коэффициентов связности этого многообразия должны обращаться в нуль; следовательно, ковариантные производные векторов

равны нулю и функции должны быть постоянными. Таким образом, имеем:

Теорема 7.12. В пространстве компактной полупростой группы существует линейно независимых псевдогармонических векторов и любой псевдогармонический вектор является линейной комбинацией с постоянными коэффициентами этих векторов. Кроме того, из равенства

мы имеем

следовательно, все векторы будут простыми векторами Киллинга и многообразие допускает просто транзитивные движения, что хорошо известно.

Назовем теперь антисимметричный тензор

псевдогармоническим, если он удовлетворяет условию

где квадратные скобки обозначают антисимметричную часть соответствующего выражения, т. е. условию

и, кроме того, условию

Такой антисимметричный тензор, очевидно, удовлетворяет условию (7.27) и, следовательно, условию (7.28), и мы можем установить следующую теорему:

Теорема 7.13. Первая половина теоремы 7.8 приложима, в частности, к псевдогармоническим тензорам.