15. Движение и аффинные коллинеации

Из формулы

очевидно, следует, что движение в римановом многообразии необходимо является аффинной коллинеацией в этом многообразии. Обратно, если

есть инфинитезимальная аффинная коллинеация в то

Умножая (2.80) на и свертывая, находим

С другой стороны, полагая в суммируя по а и принимая во внимание тождество

получим

следовательно,

Но по теореме 2.4

что влечет за собой равенство нулю константы

Следовательно, по теореме 2.16 вектор является вектором Киллинга.

Теорема 2.17. В компактном ориентируемом римановом многообразии аффинная коллинеация необходимо является движением (Яно [3]).