2. Гармонические тензоры и тензоры Киллинга на конформно-эвклидовом многообразии

Преобразование метрики

где скалярная функция, называется конформным преобразованием римановой метрики. При конформном преобразовании метрики тензор кривизны преобразуется по закону

где

а тензор

остается инвариантным.

Очевидно, что если риманово многообразие может быть сведено к эвклидову многообразию при помощи некоторого конформного преобразования, то как доказал И. А. Схоутен, для эти условия являются также и достаточными.

Многообразие, в котором называется конформно-эвклидовым.

При имеем

и, подставив это выражение в форму (3.6), получим

Если мы предположим, что квадратичная форма является положительно определенной, и обозначим через наименьшее

(положительное) собственное значение матрицы то найдем, что

Если мы теперь зафиксируем точку многообразия и возьмем систему координат, в которой в этой точке, так что контравариантные и ковариантные компоненты тензора имеют в ней одинаковые значения, то для получим

Таким образом, квадратичная форма

является положительно определенной при и это будет справедливо во всех системах координат. В силу этого из теоремы (3.4) получим, что для Если мы теперь применим теорему Пуанкаре о двойственности для чисел Бетти, то придем к следующему результату:

Теорема 4.1. Если в конформно-эвклидовом компактном ориентируемом римановом многообразии квадратичная форма Риччи положительно определена, то для этого многообразия (Бохнер [5], Лихнерович [1]).

Далее, если мы предположим, что квадратичная форма Риччи является отрицательно определенной, и обозначим через наибольшее (отрицательное) собственное число матрицы то найдем, что

и при получим для

откуда вытекает:

Теорема 4.2. Если в конформно-эвклидовом компактном ориентируемом римановом многообразии квадратичная форма Риччи является отрицательно определенной, то для существует отличного от нулевого поля (конформных) тензоров Киллинга.